Integración por Partes en Cálculo

Ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas sobre cómo usar la técnica de integración por partes para encontrar integrales son presentados.

Repaso de Integración por Partes

El método de integración por partes puede usarse para integrar fácilmente productos de funciones. La idea principal de la integración por partes comienza con la derivada del producto de dos funciones \( u \) y \( v \) como se indica: \[\frac{d(u \cdot v)}{dx} = \frac{du}{dx} v + u \frac{dv}{dx}\] Reescribe lo anterior como \[u \frac{dv}{dx} = \frac{d(u \cdot v)}{dx} - \frac{du}{dx} v\] Toma la integral de ambos lados de la ecuación anterior, resultando: \[\int u \frac{dv}{dx} dx = \int \frac{d(u \cdot v)}{dx} dx - \int \frac{du}{dx} v dx\] Observando que $\int \frac{d(u \cdot v)}{dx} dx = uv$ lo anterior se simplifica para obtener la regla de integración por partes. \[\int u \frac{dv}{dx} dx = u v - \int \frac{du}{dx} v dx\] Nota que cualquier elección de qué función en la integral de la izquierda se toma como \( u \) y cuál se toma como \( \dfrac{dv}{dx} \) debe simplificar la integral de la derecha en la fórmula anterior.

Ejemplos con Soluciones Detalladas

En lo que sigue c es una constante de integración.

Ejemplo 1

Evalúa la integral \[ \int 3 x e^x dx \] Solución al Ejemplo 1
3 es una constante y, por lo tanto, puede sacarse del integrando fuera del signo de integral.
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \) , por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = \displaystyle \int e^x \; dx = e^x \) y usando el método de integración por partes, tenemos \[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{integral dada}} \\[8pt] & \int 3 \; x \; e^x \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{constante \( 3 \) fuera de la integral}} \\[8pt] & = 3 \int x \; e^x \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{aplicar integración por partes}}\\[8pt] & = 3 \left( x \; e^x - \int 1 \cdot e^x \; dx \right) \\[15pt] &\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & \int 3 x e^x \; dx = 3 \; x \; e^x - 3 \; e^x + c \end{aligned} \]


Ejemplo 2

Evalúa la integral \[ \int x \; \sin(x) \; dx \] Solución al Ejemplo 2
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = - \cos(x) \). De ahí: \[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{integral dada}} \\[8pt] & \int x \; \sin(x) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{integración por partes}}\\[8pt] & = x (-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & \int x \; \sin(x) \; dx = - x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]

Ejemplo 3

Calcula la integral \[ \int x^2 \; \cos x \; dx \] Solución al Ejemplo 3
Sea \( u = x^2 \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) y \( v = \sin(x) \) y aplica la integración por partes. \[ \int \; x^2 \cos(x) \; dx = x^2 \sin (x) - 2 \int x\; \sin (x) \; dx \qquad (I)\] Ahora necesitamos aplicar el método de integración por partes a la integral \( \displaystyle \int x\; \sin (x) \; dx \) . En el ejemplo 2 evaluamos la integral \( \displaystyle \int x\; \sin (x) \; dx = - x \cos(x) + \sin(x) \) y podemos sustituir esto en la integral anterior. Por lo tanto, el resultado final está dado por: \[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{lado derecho de (I) arriba}} \\[8pt] & x^2 \sin (x) - 2 \int x\; \sin (x) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{sustituir la integral a la derecha de (I)}} \\[8pt] & = x^2 \sin(x) - 2 (- x \cos(x) + \sin(x)) + c \\[15pt] &\color{red}{\text{simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & \int x^2 \; \cos x \; dx = x^2 \sin(x) + 2 x \cos(x) - 2 \sin(x) + c \end{aligned} \]

Ejemplo 4

Evalúa la integral \[ \int x \; \ln x \; dx \] Solución al Ejemplo 4:
Sea \( u = \ln(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = x \) , por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) y \( v = \dfrac{x^2}{2} \) y aplica la integración por partes. \[ \begin{aligned} &\color{red}{\text{Dada la integral}} \\[8pt] & \int x \; \ln x \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{integración por partes}} \\[8pt] & = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \; \dfrac{1}{x} \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{simplificar el integrando}} \\[8pt] & = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \int \dfrac{x}{2} \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{evaluar la integral para obtener la respuesta final }} \\[8pt] & \int x \; \ln x \; dx = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \dfrac{1}{4} \; x^2 + c \end{aligned} \]


Ejemplo 5

Calcula la integral \[ \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx \] Solución al Ejemplo 5:
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = 3 \sin \left(\frac{x}{3}\right) \) \[ \begin{aligned} &\color{red}{\text{Dada la integral}} \\[8pt] & \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{integración por partes}} \\[8pt] & = x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\[15pt] &\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx = 3 x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]


Ejemplo 6

Usa integración por partes para evaluar la integral \[ \int \ln x \; dx \] Solución al Ejemplo 6:
Primero reescribimos el integrando \( \ln(x) \) como \( 1 \cdot \ln(x) \)
\[ \int \ln(x) dx = \int 1 \cdot \ln(x) \;dx \] Sea \( u = \ln(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \) , por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac {1}{x} \) y \( v = x \). Usando integración por partes, obtenemos: \[ \begin{aligned} & \int 1 \cdot \ln(x) \;dx = x \ln(x) - \int x \cdot (1/x) dx \\[15pt] &\color{red}{\text{simplificar el integrando del lado derecho}} \\[8pt] & = x \ln(x) - \int 1 \cdot dx \\[15pt] &\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & \int \ln(x) \; dx = x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]


Ejemplo 7

Usa integración por partes para evaluar la integral \[ \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx \] Solución al Ejemplo 7:
Sea \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) y \( u = (\ln(x))^2 \) por lo tanto \( v = \dfrac{x^3}{3} \) y \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \) y usa integración por partes para escribir: \[ \begin{aligned} & \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx = \dfrac{x^3}{3} \; (\ln(x))^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\[15pt] &\color{red}{\text{simplificar el integrando a la derecha}} \\[8pt] & = \dfrac{x^3}{3} \; (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \; \ln x \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Sea \( \dfrac{dw}{dx} = x^2 \) y \( z = \ln(x) \) por lo tanto \( w = \dfrac{x^3}{3} \) y \( z' = \dfrac{1}{x} \) y usa la }} \\[8pt] & \color{red}{\text{integración por partes una vez más en la integral de la derecha}} \\[8pt] &= \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \left(\dfrac{x^3}{3} \ln(x) - \int \dfrac{x^3}{3} \dfrac{1}{x} \; dx \right) \\[15pt] & \color{red}{\text{simplificar el integrando a la derecha}} \\[8pt] &= \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \left(\dfrac{x^3}{3} \ln(x) - \dfrac{1}{3} \int x^2 \; dx \right) \\[15pt] & \color{red}{\text{Expandir y simplificar}} \\[8pt] &= \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln(x) + \dfrac{2}{9} \int x^2 \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Integrar a la derecha para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx = (\ln(x))^2 \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{2}{9}x^3 \ln(x) + \dfrac{2}{27} x^3 + c \\[15pt] \end{aligned} \]


Ejemplo 8

Usa integración por partes para evaluar la integral \[ \int e^x \sin (2x) dx \] Solución al Ejemplo 8:
Sea \( I = \int e^x \sin (2x) \; dx \) que es la integral a evaluar.
Sea \( v = \sin(2x) \) y \( \dfrac{du}{dx} = e^x \) por lo tanto \( \dfrac{dv}{dx} = 2 \cos(2x) \) y \( u = e^x \).
Usa integración por partes de la siguiente manera: \[ \begin{aligned} & \int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2 \cos(2x) dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Saca la constante \( 2 \) fuera del signo de integral y reescribe como}} \\[8pt] & = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cdot \cos(2x) dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Ahora sea \( w = \cos(2x) \) y \( \dfrac{dz}{dx} = e^x \) por lo tanto \( w'= -2 \sin(2x) \) y \( z = e^x \) y }} \\[8pt] & \color{red}{\text{usa la integración por partes una vez más en la integral de la derecha}}\\[8pt] & = e^x \sin(2x) - 2 \left(e^x \cdot \cos(2x) - \left(\int e^x \cdot (-2 \sin(2x)) dx \right)\right) \\[15pt] & \color{red}{\text{Expandir y simplificar}} \\[8pt] & = e^x \sin(2x) - 2 e^x \cdot \cos(2x) - 4 \left(\int e^x \cdot \sin (2x) \right) dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Nota que la integral a la derecha es la integral \( I = \int e^x \cdot \sin (2x) dx \)}}\\[8pt] & \color{red}{\text{que estamos tratando de evaluar, por lo tanto lo anterior puede escribirse como:}}\\[8pt] & I = e^x \sin(2x) - 2 e^x \cdot \cos(2x) - 4 I \\[15pt] & \color{red}{\text{Resuelve la última ecuación para \( I \) para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & I = \int e^x \cdot \sin (2x) dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \end{aligned} \]


Ejercicios

Usa la tabla de integrales y el método de integración por partes para encontrar las integrales a continuación. [Nota: puede que necesites usar el método de integración por partes más de una vez].
  1. \( \displaystyle \int x \; \cos(x) \; dx \)
  2. \( \displaystyle \int x \; e^{2x} \; dx \)
  3. \( \displaystyle \int x^{1/3} \; \ln x \; dx \)
  4. \( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \; dx \)
  5. \( \displaystyle \int x^3 \; \cos x \; dx \)
  6. \( \displaystyle \int x^2 \; e^{-3x} \; dx \)
  7. \( \displaystyle \int e^x \; \cos(2 x) \; dx \)

Respuestas a los Ejercicios Anteriores

  1. \( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
  2. \( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
  3. \( \dfrac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + c \)
  4. \( - \dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + c \)
  5. \( 3(x^2 - 2) \cos(x) + (x^3 - 6 x) \sin(x) + c \)
  6. \( - \dfrac{1}{27} ( 9 x^2 + 6 x + 2 ) e^{-3x} + c \)
  7. \( \dfrac{1}{5} ( e^x \cos(2x) + 2 e^x \sin(2x) ) + c \)


Más Referencias y Enlaces

  1. Integrales y sus aplicaciones en cálculo.
  2. Cálculo problemas con soluciones.