Se presentan ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas sobre cómo utilizar la técnica de integración por partes para hallar integrales.
Repaso de la integración por partes
El método de integración por partes se puede utilizar para integrar fácilmente productos de funciones. La idea principal de la integración por partes comienza con la derivada del producto de dos funciones \( u \) y \( v \) dada por:
\[ \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} = \dfrac{du}{dx} v + u \dfrac{dv}{dx} \]Reescribe la ecuación anterior como:
\[ u \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} - \dfrac{du}{dx} v \]Toma la integral de ambos lados de la ecuación:
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]Observando que \( \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx = uv \), la expresión se simplifica para obtener la regla de integración por partes:
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = u v - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]Nota que cualquier elección de qué función en el integrando se elige como \( u \) y cuál como \( \dfrac{dv}{dx} \) debe simplificar la integral en el lado derecho de la fórmula.
Ejemplos con soluciones detalladas
En lo que sigue, \( c \) es una constante de integración.
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada.
Ejemplo 1: Evalúa \( \displaystyle \int 3x e^x \, dx \)
Solución al ejemplo 1:
\( 3 \) es una constante y, por lo tanto, se puede sacar fuera del signo de integración.
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \). Utilizando el método de integración por partes:
\[ \begin{aligned} \int 3x e^x \, dx &= 3 \int x e^x \, dx \\ &= 3 \left( x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \right) \\ &= 3x e^x - 3e^x + c \end{aligned} \]Ejemplo 2: Evalúa \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \)
Solución al ejemplo 2:
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = -\cos(x) \). Aplicando la integración por partes:
\[ \begin{aligned} \int x \sin(x) \, dx &= x(-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]Ejemplo 3: Calcula \( \displaystyle \int x^2 \cos x \, dx \)
Solución al ejemplo 3:
Sea \( u = x^2 \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) y \( v = \sin(x) \). Aplica la integración por partes:
\[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \, dx \qquad (I) \]Ahora aplicamos la integración por partes a la integral restante \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \). Como se evaluó en el Ejemplo 2, \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) \). Sustituyendo esto de nuevo:
\[ \begin{aligned} &= x^2 \sin(x) - 2(-x \cos(x) + \sin(x)) + c \\ &= x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2\sin(x) + c \end{aligned} \]Ejemplo 4: Evalúa \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)
Solución al ejemplo 4:
Sea \( u = \ln(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = x \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) y \( v = \dfrac{x^2}{2} \). Aplica la integración por partes:
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{1}{4} x^2 + c \end{aligned} \]Ejemplo 5: Calcula \( \displaystyle \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx \)
Solución al ejemplo 5:
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = 3 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) \):
\[ \begin{aligned} \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx &= x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 3 \left( -3 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \right) + c \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]Ejemplo 6: Utiliza la integración por partes para evaluar \( \displaystyle \int \ln x \, dx \)
Solución al ejemplo 6:
Primero reescribimos el integrando \( \ln(x) \) como \( 1 \cdot \ln(x) \):
\[ \int \ln(x) \, dx = \int 1 \cdot \ln(x) \, dx \]Sea \( u = \ln(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) y \( v = x \). Utilizando la integración por partes:
\[ \begin{aligned} \int 1 \cdot \ln(x) \, dx &= x \ln(x) - \int x \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right) dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]Ejemplo 7: Utiliza la integración por partes para evaluar \( \displaystyle \int x^2 (\ln x)^2 \, dx \)
Solución al ejemplo 7:
Sea \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) y \( u = (\ln x)^2 \), por lo tanto \( v = \dfrac{x^3}{3} \) y \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \). Utilizando la integración por partes:
\[ \begin{aligned} \int x^2 (\ln x)^2 \, dx &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx \end{aligned} \]Ahora aplica la integración por partes por segunda vez en \( \int x^2 \ln x \, dx \) (donde \( w = \ln x, \dfrac{dz}{dx} = x^2 \implies w' = \dfrac{1}{x}, z = \dfrac{x^3}{3} \)):
\[ \begin{aligned} &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln x - \int \dfrac{x^3}{3} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right) \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{9} \int x^2 \, dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{27} x^3 + c \end{aligned} \]Ejemplo 8: Evalúa \( \displaystyle \int e^x \sin(2x) \, dx \)
Solución al ejemplo 8:
Sea \( I = \int e^x \sin(2x) \, dx \).
Sea \( v = \sin(2x) \) y \( \dfrac{du}{dx} = e^x \), por lo tanto \( \dfrac{dv}{dx} = 2\cos(2x) \) y \( u = e^x \). Utilizando la integración por partes:
\[ \int e^x \sin(2x) \, dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2\cos(2x) \, dx \] \[ = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cos(2x) \, dx \]Ahora aplica la integración por partes nuevamente en \( \int e^x \cos(2x) \, dx \) (sea \( w = \cos(2x), \dfrac{dz}{dx} = e^x \implies w' = -2\sin(2x), z = e^x \)):
\[ = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cos(2x) - \int e^x(-2\sin(2x)) \, dx \right) \] \[ = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) \, dx \]Dado que la integral de la derecha es \( I \), tenemos:
\[ I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4I \]Despejando \( I \):
\[ 5I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) \] \[ \int e^x \sin(2x) \, dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \]Ejercicios
Utiliza la tabla de integrales y el método de integración por partes para hallar las siguientes integrales. [Nota que es posible que necesites usar el método de integración por partes más de una vez].
- \( \displaystyle \int x \cos(x) \, dx \)
- \( \displaystyle \int x e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^{1/3} \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^3 \cos x \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^2 e^{-3x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^x \cos(2x) \, dx \)
Respuestas a los ejercicios anteriores
- \( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
- \( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
- \( \dfrac{3}{4} x^{4/3} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{4/3} + c \)
- \( -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + c \)
- \( 3(x^2 - 2) \cos(x) + (x^3 - 6x) \sin(x) + c \)
- \( -\dfrac{1}{27} (9x^2 + 6x + 2) e^{-3x} + c \)
- \( \dfrac{1}{5} (e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x)) + c \)