Descomposición en fracciones parciales

Reglas, ejemplos paso a paso con soluciones desplegables, preguntas de práctica y respuestas

Se presenta la descomposición de fracciones [1] en fracciones más simples y manejables. Una de sus aplicaciones importantes es en el cálculo de integrales de funciones racionales en cálculo. Se incluyen ejemplos y preguntas con sus soluciones.

Se puede utilizar una calculadora en línea de descomposición en fracciones parciales para comprobar las respuestas a los ejemplos y preguntas.

Reglas de descomposición en fracciones parciales

¿Cómo descomponer una función racional \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) en fracciones parciales?

1 - Factoriza por completo el polinomio \( Q(x) \) en el denominador de la función racional anterior en factores de la forma:

\[ (ax + b)^m \quad \text{y} \quad (ax^2 + bx + c)^n \]

Ejemplo: Sea \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \). El denominador se factoriza como \( x^3 + 2x^2 + 4x = x(x^2 + 2x + 4) \). El término cuadrático \( x^2 + 2x + 4 \) es irreducible sobre los números reales.

2 - Para cada factor de la forma \( (ax + b)^m \), la descomposición incluye la siguiente suma de fracciones:

\[ \dfrac{C_1}{ax + b} + \dfrac{C_2}{(ax + b)^2} + \dots + \dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]

Ejemplo: La fracción \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) se descompone como \( \dfrac{C_1}{x-2} + \dfrac{C_2}{(x-2)^2} + \dfrac{C_3}{(x-2)^3} \).

3 - Para cada factor de la forma \( (ax^2 + bx + c)^n \), la descomposición incluye la siguiente suma de fracciones:

\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \dots + \dfrac{A_n x + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \]

Ejemplos con soluciones detalladas

Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.

Ejemplo 1: Descompone en fracciones parciales \( \displaystyle \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} \)

Solución al ejemplo 1:

Comenzamos factorizando el denominador:

\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

Ambos factores son lineales, con potencia \( 1 \) cada uno, por lo que la fracción dada se descompone de la siguiente manera:

\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \]

Multiplica ambos lados por el mínimo común denominador \( (x - 2)(x + 1) \) y simplifica:

\[ 2x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]

Desarrolla el lado derecho y agrupa los términos semejantes:

\[ 2x + 5 = x(A + B) + A - 2B \]

Igualando los coeficientes de los polinomios:

\[ 2 = A + B \quad \text{y} \quad 5 = A - 2B \]

Al resolver este sistema se obtiene \( A = 3 \) y \( B = -1 \). Sustituyendo de nuevo:

\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 1} \]
Ejemplo 2: Descompone en fracciones parciales \( \displaystyle \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} \)

Solución al ejemplo 2:

Factoriza el denominador:

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]

Utilizando la regla para factores lineales repetidos:

\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x + 1)^2} \]

Multiplica ambos lados por \( (x + 1)^2 \):

\[ 1 - 2x = A(x + 1) + B \implies -2x + 1 = Ax + (A + B) \]

Igualando coeficientes:

\[ -2 = A \quad \text{y} \quad 1 = A + B \implies B = 3 \]

Sustituyendo \( A \) y \( B \):

\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{-2}{x + 1} + \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]
Ejemplo 3: Descompone en fracciones parciales \( \displaystyle \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} \)

Solución al ejemplo 3:

Descompone utilizando las reglas de los factores lineales y cuadráticos irreducibles:

\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3} \]

Multiplica ambos lados por \( (x - 2)(x^2 + 2x + 3) \):

\[ 4x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x - 2) \]

Sea \( x = 2 \):

\[ 4(4) - 2 + 8 = A(4 + 4 + 3) \implies 22 = 11A \implies A = 2 \]

Sea \( x = 0 \):

\[ 8 = A(3) + C(-2) \implies 8 = 2(3) - 2C \implies 2 = -2C \implies C = -1 \]

Sea \( x = 1 \) (sabiendo que \( A = 2, C = -1 \)):

\[ 4(1) - 1 + 8 = 2(1 + 2 + 3) + (B - 1)(1 - 2) \] \[ 11 = 12 - (B - 1) \implies B = 2 \]

La fracción se descompone como:

\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 2x + 3} \]

Preguntas

Descompone las siguientes fracciones en fracciones parciales:

  1. \( \displaystyle \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} \)
  2. \( \displaystyle \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} \)
  3. \( \displaystyle \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} \)

Soluciones a las preguntas anteriores

  1. Factoriza el denominador: \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \).
    Planteamiento: \( \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2} \).
    Respuesta: \( \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{x + 2} \)

  2. El denominador ya está factorizado.
    Planteamiento: \( \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{(x - 3)^2} \).
    Respuesta: \( \dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{3}{(x - 3)^2} \)

  3. La expresión \( x^2 + 5x + 10 \) no se puede factorizar sobre los números reales (\( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 < 0 \)).
    Planteamiento: \( \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 5x + 10} \).
    Respuesta: \( -\dfrac{2}{x + 4} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 5x + 10} \)

Más referencias y enlaces

  1. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  4. Calculadora de descomposición en fracciones parciales en línea