Descomposición en Fracciones Parciales
La descomposición de fracciones [1] en fracciones manejables más simples se presenta aquí. Una de sus aplicaciones importantes es en el cálculo de integrales de funciones racionales en cálculo. Se incluyen ejemplos, preguntas y sus soluciones.
Se puede utilizar una calculadora de descomposición en fracciones parciales en línea para verificar las respuestas de los ejemplos y las preguntas.
Reglas de Descomposición en Fracciones Parciales
¿Cómo descomponer una función racional \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) en fracciones parciales?
1 - Factorizar completamente el polinomio Q(x) en el denominador de la función racional anterior en factores de la forma
\[ (ax + b)^m \quad \text{y} \quad (a x^2 + b x + c )^n \]
Ejemplo
Sea \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \)
El denominador se factoriza de la siguiente manera:
\[ x^3 + 2x^2 + 4x = x (x^2 + 2x + 4) \]
El término cuadrático \( x^2 + 2 x + 4 \) es irreducible (no se puede factorizar) en los reales.
2 - Para cada factor de la forma \( (ax + b)^m \), la descomposición incluye la siguiente suma de fracciones:
\[ \dfrac{C_1}{ax + b}+\dfrac{C_2}{(ax + b)^2}+...+\dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]
Ejemplo
La fracción \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) se descompone como:
\[ \dfrac{2}{(x-2)^3}=\dfrac{C_1}{x-2}+\dfrac{C_2}{(x-2)^2}+\dfrac{C_3}{(x-2)^3} \]
3 - Para cada factor de la forma \( (a x^2 + b x + c)^n \), la descomposición incluye la siguiente suma de fracciones:
\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{a x^2 + b x + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(a x^2 + b x + c)^2} + ... + \dfrac{A_n x + B_n}{(a x^2 + b x + c)^n} \]
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Descomponer en fracciones parciales:
\[ \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2} \]
Solución al Ejemplo 1:
Comenzamos factorizando el denominador:
\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]
Ambos factores son lineales, cada uno con potencia \(1\). Por lo tanto, la fracción dada se descompone de la siguiente manera:
\[ \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1} \]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por el mínimo común denominador, \( (x - 2)(x + 1) \), y simplificamos para obtener una ecuación de la forma:
\[ 2 x+5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]
Expandimos el lado derecho y agrupamos términos semejantes:
\[ 2 x + 5 = x (A + B) + A - 2 B \]
Para que los polinomios de la derecha y la izquierda sean iguales, necesitamos tener:
\[ 2 = A + B \quad \text{y} \quad 5 = A - 2 B \]
Resolviendo el sistema anterior obtenemos:
\[ A = 3 \quad \text{y} \quad B = -1 \]
Sustituimos \( A \) y \( B \) en la descomposición propuesta para obtener:
\[ \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2}=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x+1} \]
Como ejercicio, agrupe los términos de la derecha para obtener el lado izquierdo.
Ejemplo 2
Descomponer en fracciones parciales:
\[ \dfrac{1-2 x}{x^2+2x+1} \]
Solución al Ejemplo 2:
Comenzamos factorizando el denominador:
\[ x^2 + 2 x + 1 = (x + 1)^2 \]
Usando la regla anterior, la fracción dada se descompone de la siguiente manera:
\[ \dfrac{1-2 x}{x^2+2x+1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2} \]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por \( (x + 1)^2 \), y simplificamos para obtener una ecuación de la forma:
\[ 1 - 2 x = A(x + 1) + B \]
Expandimos el lado derecho y agrupamos términos semejantes:
\[ -2x + 1 = A x + (A + B) \]
Para que los polinomios de la derecha y la izquierda sean iguales, necesitamos tener:
\[ -2 = A \quad \text{y} \quad 1 = A + B \]
Resolviendo el sistema anterior obtenemos:
\[ A = -2 \quad \text{y} \quad B = 3 \]
Sustituimos \( A \) y \( B \) en la descomposición propuesta para obtener:
\[ \dfrac{1-2 x}{x^2+2x+1}=\dfrac{-2}{x+1}+\dfrac{3}{(x+1)^2} \]
Ejemplo 3
Descomponer en fracciones parciales:
\[ \dfrac{4x^2-x+8}{(x-2)(x^2+2x+3)} \]
Solución al Ejemplo 3:
Usamos la regla anterior para descomponer la fracción dada de la siguiente manera:
\[ \dfrac{4x^2-x+8}{(x-2)(x^2+2x+3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B x+C}{x^2+2x+3} \]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por \( (x - 2)(x^2 + 2 x + 3) \), y simplificamos para obtener una ecuación de la forma:
\[ 4 x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2 x + 3) + (B x + C)(x - 2) \]
La igualdad anterior es verdadera para todos los valores de \( x \). Usemos \( x = 2 \) para obtener una ecuación en \( A \):
\[ 22 = 11 A \]
Resolviendo para \( A \) obtenemos:
\[ A = 2 \]
Para encontrar \( C \), usamos \( x = 0 \) en la igualdad anterior:
\[ 8 = 6 - 2 C \]
Resolviendo para \( C \) obtenemos:
\[ C = -1 \]
Para encontrar \( B \), usamos \( x = 1 \) en la igualdad anterior:
\[ 11 = 12 + (B - 1)(1 - 2) \]
Resolviendo para \( B \) obtenemos:
\[ B = 2 \]
La fracción dada se puede descomponer de la siguiente manera:
\[ \dfrac{4x^2-x+8}{(x-2)(x^2+2x+3)}=\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2 x-1}{x^2+2x+3} \]
Preguntas
Descompón las siguientes fracciones en fracciones parciales.
1. \( \dfrac{-x+10}{x^2+x-2} \)
2. \( \dfrac{2 x - 3}{(x-3)^2} \)
3. \( \dfrac{-3 x - 24}{(x+4)(x^2+5x+10)} \)
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
1.
Factorizar el denominador: \[ x^2+x-2 = (x - 1)(x + 2) \]
Por lo tanto, según las reglas, la descomposición se escribe como: \[ \dfrac{-x+10}{x^2+x-2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} \]
Usa valores numéricos para \( x \) y un sistema de dos ecuaciones con las incógnitas \( A \) y \( B \), y luego resuelve para obtener:
\[ \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{4}{x+2} \]
2.
El denominador ya está en forma factorizada.
Por lo tanto, según las reglas, la descomposición se escribe como: \( \dfrac{2 x - 3}{(x-3)^2} = \dfrac{A}{x-3} + \dfrac{B }{(x-3)^2} \)
Usa valores numéricos para \( x \) y un sistema de dos ecuaciones con las incógnitas \( A \) y \( B \), y luego resuelve para obtener:
\[ \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{3}{(x-3)^2} \]
3.
La expresión \( x^2+5x+10 \) en el denominador no se puede factorizar sobre los números reales porque su discriminante \( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 \) es negativo y, por lo tanto, el denominador está en forma factorizada.
Las reglas de descomposición se utilizan para escribir la descomposición como: \( \dfrac{-3 x - 24}{(x+4)(x^2+5x+10)} = \dfrac{A}{x+4} + \dfrac{B x + C }{x^2+5x+10} \)
\[ -\dfrac{2}{x+4}+\dfrac{2 x-1}{x^2+5x+10} \]
Más Referencias y Enlaces
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 ? : ? 978-0134995540
Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 ? : ? 978-0961408824
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
Calculadora de descomposición en fracciones parciales en línea