Sustitución Trigonométrica en Integrales

Calcula integrales usando sustituciones trigonométricas con ejemplos y soluciones detalladas, y explicaciones. También se presentan más ejercicios con soluciones al final de la página.
En todos los ejemplos y ejercicios, \( c \) representa la constante de integración.

Identidades Trigonométricas para Simplificar Raíces Cuadradas

Comienza con la identidad trigonométrica \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \] Reescribe la identidad anterior como \[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \] Toma la raíz cuadrada de ambos lados para obtener \[ \sqrt {1 - \sin^2\;t} = |\cos \; t| \qquad (I') \] Divide todos los términos de la identidad \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1\) por \( \cos x \) para obtener otra identidad dada por \[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \] Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la identidad anterior para obtener \[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \] La identidad (II) también puede escribirse como \[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \] Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la identidad anterior para obtener \[ \sqrt {\sec^2 x - 1} = | \tan x | \qquad (III') \]

A - Calcular Integrales que Involucran Expresiones de la forma \( \sqrt {a^2 - b^2 x^2 } \)

Dada la expresión \[ \sqrt {a^2 - b^2 x^2} \] Factoriza \( a^2 \) dentro de la raíz cuadrada y saca \( |a| \) de la raíz cuadrada. \[ \sqrt {a^2 - b^2 x^2} = \sqrt {a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{b x}{a}\right)^2\right)} = |a| \sqrt { 1 - \left(\dfrac{b x}{a}\right)^2} \] Haz la sustitución \[ \sin t = \dfrac{b x}{a} \] y reescribe la expresión \( \sqrt {a^2 - b^2 x^2 } \) como \[ \sqrt {a^2 - b^2 x^2 } = |a| \sqrt { 1 - \sin^2t} = |a| |\cos t |\]

Ejemplo 1

Calcula la integral \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16-4x^2}} \; dx \] Solución al Ejemplo 1
Reescribe la expresión \( \sqrt{16-4x^2} \) en el denominador del integrando como \[ \sqrt{16-4x^2} = \sqrt{16(1 - x^2 /4)} = 4 \sqrt{1 - (x/2)^2} \] Sustitución trigonométrica: Sea \( x/2 = \sin t \) o \( x = 2 \sin t \), lo que da \( \dfrac{dx}{dt} = 2 \cos t \) o \( dx = 2 \cos t \; dt \); la integral está dada por \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16-4x^2}}dx = \int \dfrac{4 \sin^2 t}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} 2 \cos t \; dt \] Simplifica usando la identidad \( \sqrt { 1 - \sin^2t} = |\cos t | \) \[ = 2 \int \dfrac{ \sin^2 t}{ |\cos t|} \cos t \; dt \] NOTA: \( |\cos t| \) solo puede simplificarse si conocemos el signo de \( \cos t \). Dado que la integral dada es indefinida, podemos asumir que \( \cos t \ge 0 \) y por lo tanto \( |\cos t| = \cos t\). Simplifica lo anterior. \[ = 2 \int \sin^2 t \; dt \]
Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 t = (1/2)(1 - \cos 2 t) \); sustituye. \[ = \displaystyle \int (1 - \cos 2 t) \; dt \] Evalúa la integral. \[ = \left(t-\dfrac{1}{2}\sin \left(2t\right)\right)+ c \] Dado que \( x/2 = \sin t \), \( t = \arcsin (x/2) \). Sustituye para obtener la respuesta final. \[ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16-4x^2}}dx = \arcsin (x/2) -\dfrac{1}{2}\sin \left(2 \arcsin (x/2) \right)+ c \]

B - Calcular Integrales que Involucran Expresiones de la forma \( \sqrt {a^2 x^2 + b^2} \)

Dada la expresión \[ \sqrt {a^2 x^2 + b^2} \] Factoriza \( b^2 \) dentro de la raíz cuadrada y saca \( |b| \) de la raíz cuadrada. \[ \sqrt {a^2 x^2 + b^2} = \sqrt {b^2 \left( \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt { \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 + 1} \] Haz la sustitución \[ \tan t = \dfrac{a x}{b} \] y reescribe la expresión \( \sqrt { a^2 x^2 + b^2 } \) como \[ \sqrt { a^2 x^2 + b^2 } = |b| \sqrt { \tan^2 t + 1} = |b| |\sec t |\]

Ejemplo 2

Calcula la integral \[ \displaystyle \int \frac{\sqrt{25x^2+4}}{x^4} \; dx \] Solución al Ejemplo 2
Reescribe la expresión \( \sqrt{25x^2+4} \) en el numerador del integrando como \[ \sqrt{25x^2+4} = \sqrt{4(25 x^2/4 + 1)} = 2 \sqrt{(5 x/2)^2 + 1} \] Sustitución trigonométrica: Sea \( 5 x/2 = \tan t \) o \( x = (2/5) \tan t \), lo que da \( \dfrac{dx}{dt} = (2/5) \sec^2 t \) o \( dx = (2/5) \sec^2 t \; dt \); la integral está dada por \[ \int \frac{\sqrt{25x^2+4}}{x^4} \; dx = \int \dfrac{2 \sqrt{\tan^2 t + 1}}{((2/5) \tan t)^4} (2/5) \sec^2 t \; dt \] Simplifica usando la identidad \( \sqrt { \tan^2 t +1 } = |\sec t | \) \[ \displaystyle = (125/4) \int \dfrac{ |\sec t | }{ \tan^4 t} \sec^2 t \; dt \] NOTA: \( |\sec t| \) solo puede simplificarse si conocemos el signo de \( \sec t \). Dado que la integral dada es indefinida, podemos asumir que \( \sec t \ge 0 \) y por lo tanto \( |\sec t| = \sec t\). Simplifica la integral anterior. \[ \displaystyle = (125/4) \int \dfrac{ \sec^3 t }{ \tan^4 t} \; dt \] Reescribe el integrando en términos de \( \sin t \) y \( \cos t \) \[ = (125/4) \int \dfrac{ \cos t }{ \sin^4 t} \; dt \] Sustitución: Sea \( w = \sin t \) y por lo tanto \( \dfrac{d w}{d t} = \cos t \) o \( dt = \dfrac{1}{\cos t} dw\) \[ = (125/4) \int \dfrac{ 1 }{ w^4 } \; d w \] Calcula la integral de la derecha usando la regla de la potencia. \[ \displaystyle = - (125/4) \dfrac{1}{3 w^3} + c \] Sustituye de nuevo sabiendo que \( w = \sin t \) y \( t = \arctan(5 x/2) \) para obtener la respuesta final. \[ \displaystyle = - (125/12) \dfrac{1}{(\sin(\arctan(5 x/2)))^3} + c \] Nota: podemos usar la identidad \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) para simplificar la respuesta final a \[ \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2+4}}{x^4}dx = - \dfrac{\sqrt{\left(25x^2+4\right)^3}}{12 x^3} + c \]

C - Calcular Integrales que Involucran Expresiones de la forma \( \sqrt {a^2 x^2 - b^2} \)

Dada la expresión \[ \sqrt {a^2 x^2 - b^2} \] Factoriza \( b^2 \) dentro de la raíz cuadrada y saca \( |b| \) de la raíz cuadrada. \[ \sqrt {a^2 x^2 - b^2} = \sqrt {b^2 \left( \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt { \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 - 1} \] Haz la sustitución \[ \sec t = \dfrac{a x}{b} \] y reescribe la expresión \( \sqrt { a^2 x^2 - b^2 } \) como \[ \sqrt { a^2 x^2 - b^2 } = |b| \sqrt { \sec^2 t - 1} = |b| |\tan t | \]

Ejemplo 3

Calcula la integral \[ \displaystyle \int \dfrac{1}{ \sqrt{4x^2-9}} \; dx \]
Solución al Ejemplo 3
Reescribe la expresión \( \sqrt{4x^2-9} \) en el denominador del integrando como \[ \sqrt{4x^2-9} = \sqrt{9(4 x^2/9 - 1)} = 3 \sqrt{(2 x/3)^2 - 1} \] Sustitución trigonométrica: Sea \( 2 x/3 = \sec t \) o \( x = (3/2) \sec t \), lo que da \( \dfrac{dx}{dt} = (3/2) \sec t \tan t \) o \( dx = (3/2) \sec t \tan t \; dt \); la integral está dada por \[ \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2-9}} \; dx = \int \dfrac{1}{3 \sqrt{\sec^2 t - 1 }} \; (3/2) \sec t \tan t \; dt \] Simplifica usando la identidad \( \sqrt { \sec^2 t - 1 } = |\tan t | \) \[ \displaystyle = (1/2) \int \dfrac{1}{|\tan \; t|} \; \sec \; t \tan \; t \; dt \] NOTA: \( | \tan \;t| \) solo puede simplificarse si conocemos el signo de \( \tan t \). Dado que la integral dada es indefinida, podemos asumir que \( \tan t \ge 0 \) y por lo tanto \( |\tan t| = \tan t\). Simplifica la integral anterior. \[ \displaystyle = (1/2) \int \sec t \; dt \] La integral de la derecha es una integral común conocida \[ \displaystyle = (1/2) \ln \left |\tan \; t + \sec \; t \right| + c \] La sustitución \( 2 x/3 = \sec t \) se utilizó y ahora necesitamos usar \( t = \text{arcsec}(2 x/3) \) en lo anterior para obtener la respuesta final \[ \displaystyle = (1/2) \ln \; \left|\tan (\text{arcsec}(2 x/3))+2 x/3 \; \right| + c \] Usando la identidad \( \tan (\text{arcsec} x) =\sqrt{x^2-1} \) para simplificar aún más la respuesta final \[ \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2-9}} \; dx = (1/2) \ln \; \left| \sqrt { (2 x/3)^2 - 1 }+2 x/3 \; \right| + c \]

Ejercicios

Calcula las siguientes integrales.

  1. \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-2x^2}} \; dx \)
  2. \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{x^4} \;dx \)
  3. \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2-36}} \; dx \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

  1. \( \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left(\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2} \sin \left(2\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right)\right)+ c \)
  2. \( -\dfrac{\left(1+9x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3x^3}+ c \)
  3. \( \dfrac{1}{3}\ln \left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2-4}+x\right|}{2}\right)+ c \)

Más Referencias y Enlaces

  1. Integrales y sus aplicaciones en cálculo.