Calcula integrales utilizando sustituciones trigonométricas con ejemplos, soluciones detalladas y explicaciones. También se presentan más ejercicios con soluciones al final de la página.
En todos los ejemplos y ejercicios, \( c \) representa la constante de integración.
Identidades trigonométricas para simplificar raíces cuadradas
Comienza con la identidad trigonométrica:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \]Reescribe la identidad anterior como:
\[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \]Toma la raíz cuadrada de ambos lados para obtener:
\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \qquad (I') \]Divide todos los términos de la identidad \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) por \( \cos^2 x \) (o reacomoda) para obtener otra identidad dada por:
\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \]Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la identidad anterior para obtener:
\[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \]La identidad (II) también se puede escribir como:
\[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \]Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la identidad anterior para obtener:
\[ \sqrt{\sec^2 x - 1} = |\tan x| \qquad (III') \]A - Calcular integrales que involucran expresiones de la forma \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \)
Dada la expresión:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \]Factoriza \( a^2 \) bajo la raíz cuadrada y saca \( |a| \) fuera de la raíz cuadrada:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = \sqrt{a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2 \right)} = |a| \sqrt{1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2} \]Realiza la sustitución:
\[ \sin t = \dfrac{bx}{a} \]y reescribe la expresión \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) como:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = |a| \sqrt{1 - \sin^2 t} = |a| |\cos t| \]Ejemplo 1: Calcula la integral \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx \)
Solución al ejemplo 1:
Reescribe la expresión \( \sqrt{16 - 4x^2} \) en el denominador del integrando como:
\[ \sqrt{16 - 4x^2} = \sqrt{16\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)} = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]Sustitución trigonométrica: Sea \( \dfrac{x}{2} = \sin t \) o \( x = 2\sin t \), lo que da \( \dfrac{dx}{dt} = 2\cos t \) o \( dx = 2\cos t \, dt \); la integral se convierte en:
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \int \dfrac{(2\sin t)^2}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} (2\cos t) \, dt \]Simplifica utilizando la identidad \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \):
\[ = 2 \int \dfrac{\sin^2 t}{|\cos t|} \cos t \, dt \]Dado que la integral es indefinida, podemos suponer \( \cos t \geq 0 \), por lo que \( |\cos t| = \cos t \):
\[ = 2 \int \sin^2 t \, dt \]Utiliza la identidad trigonométrica \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \):
\[ = 2 \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \, dt = \int (1 - \cos 2t) \, dt \]Evalúa la integral:
\[ = t - \dfrac{1}{2}\sin(2t) + C \]Dado que \( \dfrac{x}{2} = \sin t \), \( t = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) \). Sustituye de nuevo para obtener la respuesta final:
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2 \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) + C \]B - Calcular integrales que involucran expresiones de la forma \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \)
Dada la expresión:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \]Factoriza \( b^2 \) bajo la raíz cuadrada y saca \( |b| \) fuera de la raíz cuadrada:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1} \]Realiza la sustitución:
\[ \tan t = \dfrac{bx}{a} \]y reescribe la expresión \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) como:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = |b| \sqrt{\tan^2 t + 1} = |b| |\sec t| \]Ejemplo 2: Calcula la integral \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx \)
Solución al ejemplo 2:
Reescribe la expresión \( \sqrt{25x^2 + 4} \) en el numerador como:
\[ \sqrt{25x^2 + 4} = \sqrt{4\left(\dfrac{25x^2}{4} + 1\right)} = 2 \sqrt{\left(\dfrac{5x}{2}\right)^2 + 1} \]Sustitución trigonométrica: Sea \( \dfrac{5x}{2} = \tan t \) o \( x = \dfrac{2}{5}\tan t \), lo que da \( dx = \dfrac{2}{5}\sec^2 t \, dt \); la integral está dada por:
\[ \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx = \int \dfrac{2\sqrt{\tan^2 t + 1}}{\left(\dfrac{2}{5}\tan t\right)^4} \left(\dfrac{2}{5}\sec^2 t\right) dt \]Simplifica utilizando \( \sqrt{\tan^2 t + 1} = |\sec t| \):
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{|\sec t|}{\tan^4 t} \sec^2 t \, dt \]Suponiendo que \( \sec t \geq 0 \), \( |\sec t| = \sec t \):
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\sec^3 t}{\tan^4 t} \, dt \]Reescribe en términos de \( \sin t \) y \( \cos t \):
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\cos t}{\sin^4 t} \, dt \]Sustitución: Sea \( w = \sin t \), por lo que \( dw = \cos t \, dt \):
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{1}{w^4} \, dw \]Calcula utilizando la regla de la potencia:
\[ = -\dfrac{125}{12 w^3} + C \]Sustituye de nuevo \( w = \sin t \) y \( t = \arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right) \):
\[ = -\dfrac{125}{12} \cdot \dfrac{1}{\left(\sin\left(\arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right)\right)\right)^3} + C \]Utilizando la identidad \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \), simplificamos a:
\[ = -\dfrac{\sqrt{(25x^2 + 4)^3}}{12x^3} + C \]C - Calcular integrales que involucran expresiones de la forma \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \)
Dada la expresión:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \]Factoriza \( b^2 \) bajo la raíz cuadrada y saca \( |b| \) fuera de la raíz cuadrada:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1} \]Realiza la sustitución:
\[ \sec t = \dfrac{bx}{a} \]y reescribe la expresión \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) como:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = |b| \sqrt{\sec^2 t - 1} = |b| |\tan t| \]Ejemplo 3: Calcula la integral \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx \)
Solución al ejemplo 3:
Reescribe la expresión \( \sqrt{4x^2 - 9} \) en el denominador como:
\[ \sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{9\left(\dfrac{4x^2}{9} - 1\right)} = 3 \sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} \]Sustitución trigonométrica: Sea \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \) o \( x = \dfrac{3}{2}\sec t \), lo que da \( dx = \dfrac{3}{2}\sec t \tan t \, dt \); la integral es:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx = \int \dfrac{1}{3\sqrt{\sec^2 t - 1}} \left(\dfrac{3}{2}\sec t \tan t\right) dt \]Simplifica utilizando \( \sqrt{\sec^2 t - 1} = |\tan t| \):
\[ = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{|\tan t|} \sec t \tan t \, dt \]Suponiendo que \( \tan t \geq 0 \), \( |\tan t| = \tan t \):
\[ = \dfrac{1}{2} \int \sec t \, dt \]Esta es una integral conocida estándar:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln|\tan t + \sec t| + C \]Dado que \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \), tenemos \( t = \text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right) \). Sustituyendo de nuevo:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right)\right) + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]Utilizando la identidad \( \tan(\text{arcsec}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \), simplificamos a:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]Ejercicios
Calcula las siguientes integrales. Haz clic en cada ejercicio para revelar la solución paso a paso.
Ejercicio 1: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 2x^2}} \, dx \)
Solución:
Reescribe el denominador como \( \sqrt{9\left(1 - \dfrac{2x^2}{9}\right)} = 3\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)^2} \).
Sea \( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x = \sin t \implies x = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin t \), \( dx = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t \, dt \).
Sustituir y simplificar da como resultado:
\[ \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left( \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right) \right) + C \]Ejercicio 2: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x^4} \, dx \)
Solución:
Sea \( 3x = \tan t \implies x = \dfrac{1}{3}\tan t \), \( dx = \dfrac{1}{3}\sec^2 t \, dt \).
Sustituyendo en la integral y simplificando se obtiene:
\[ -\dfrac{(1 + 9x^2)^{3/2}}{3x^3} + C \]Ejercicio 3: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2 - 36}} \, dx \)
Solución:
Reescribe el denominador como \( \sqrt{9(x^2 - 4)} = 3\sqrt{x^2 - 4} \).
Sea \( \dfrac{x}{2} = \sec t \implies x = 2\sec t \), \( dx = 2\sec t \tan t \, dt \).
Evaluar la integral da como resultado:
\[ \dfrac{1}{3}\ln\left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2 - 4} + x\right|}{2}\right) + C \]