Un casquete esférico se define como la porción de una esfera cortada por un plano.
El volumen de un casquete esférico se encuentra mediante integrales y el método de los discos utilizado en
"Volumen de un Sólido de Revolución".
Un casquete esférico se define como la porción de una esfera cortada por un plano.
Consideramos ahora un casquete esférico de una esfera de radio \( R \) y altura \( h \). Un casquete esférico se puede generar revolucionando la curva de \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), que es media circunferencia, alrededor del eje x con \( x \) en el intervalo \( R-h \le x \le R \).
Considere el pequeño disco (en líneas discontinuas) que tiene un ancho \( dx \) y un radio igual a \( y \). El volumen del disco está dado por \( \pi y^2 dx \) y, por lo tanto, la integral sobre \( x \) en el intervalo \( [R-h, R ] \) da el volumen del casquete.
\[ \displaystyle \text{Volumen} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 dx \]
Dado que \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), el volumen es:
\[ \displaystyle \text{Volumen} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) dx \]
Evaluamos la integral:
\[ \displaystyle \text{Volumen} = \pi \left[R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{R-h}^{R} \]
Evaluamos la expresión anterior:
\[ \displaystyle \text{Volumen} = \pi \left\{ \left(R^3 - \dfrac{1}{3}R^3\right) - \left(R^2 (R-h) - \dfrac{1}{3}(R-h)^3\right) \right\} \]
Simplificamos para obtener el volumen:
\[ \Large \displaystyle \color{red} {\text{Volumen} = \dfrac{\pi}{3}( 3 Rh^2-h^3) }\]