El volumen de un casquete esférico se halla utilizando integrales y el método de discos utilizado en "Volumen de un sólido de revolución".
Un casquete esférico se define como una porción de una esfera cortada por un plano.
Derivación de la fórmula del volumen de un casquete esférico
Considera un casquete esférico de una esfera de radio \( R \) y altura \( h \). Un casquete esférico se puede generar haciendo girar la curva de \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), que representa medio círculo, alrededor del eje x con \( x \) en el rango \( R - h \le x \le R \).
Considera un disco pequeño (mostrado con líneas discontinuas) que tiene un ancho \( dx \) y un radio igual a \( y \). El volumen del disco está dado por \( \pi y^2 \, dx \), y por lo tanto la integral sobre \( x \) en el rango \( [R - h, R] \) da el volumen total del casquete:
\[ \text{Volumen} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 \, dx \]Dado que \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), la integral del volumen se convierte en:
\[ \text{Volumen} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) \, dx \]Evaluando la integral:
\[ \text{Volumen} = \pi \left[ R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{R-h}^{R} \]Sustituyendo los límites superior e inferior:
\[ \text{Volumen} = \pi \left\{ \left( R^3 - \dfrac{1}{3}R^3 \right) - \left( R^2(R - h) - \dfrac{1}{3}(R - h)^3 \right) \right\} \]Simplificando la expresión algebraica anterior se obtiene la fórmula final para el volumen:
\[ \Large \displaystyle \color{red}{\text{Volumen} = \dfrac{\pi}{3}(3Rh^2 - h^3)} \]