Utiliza el método del disco alrededor del eje x para hallar el volumen de un tronco.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Fórmula del volumen del tronco
Problema: Halla el volumen de un tronco con altura \( h \) y radios \( r \) y \( R \) como se muestra a continuación.
Solución al problema:
Un tronco se puede obtener haciendo girar \( y = mx \) entre \( x = a \) y \( x = b \) alrededor del eje x como se muestra a continuación. La altura \( h = b - a \).
Haciendo girar un disco (rojo) de radio \( y \) (por lo tanto de área \( \pi y^2 \)) y espesor \( dx \), el volumen \( V \) del tronco se puede escribir como:
\[ V = \int_a^b \pi y^2 \, dx \quad (I) \]La pendiente \( m \) está dada por:
\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]donde \( h \) es la altura del tronco dada por:
\[ h = b - a \]Sustituye \( y \) por \( mx \) en la ecuación (I) y escribe:
\[ V = m^2 \pi \int_a^b x^2 \, dx \]Evalúa la integral:
\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \] \[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]Nota que:
\[ r = m a \quad \text{y} \quad R = m b \]Por lo tanto:
\[ a = \dfrac{r}{m} \quad \text{y} \quad b = \dfrac{R}{m} \]Sustituye estos en la ecuación (II):
\[ V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]Simplifica:
\[ V = \dfrac{1}{3 m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]Sustituye \( m \) por \( \dfrac{R - r}{h} \) en lo anterior y reescribe como:
\[ V = \dfrac{\pi h}{3} \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R - r} \quad (III) \]Nota que utilizando la división polinómica en dos variables, \( \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} \) se puede simplificar como:
\[ \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} = R^2 + rR + r^2 \]Sustituye lo anterior en la ecuación (III) para obtener la fórmula final para el volumen del tronco:
\[ \Large \displaystyle \boxed{V = \dfrac{\pi h}{3} \left(R^2 + rR + r^2\right)} \]