Introducción a los sólidos de revolución
Aprende a hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar una región delimitada por curvas alrededor del eje x o del eje y. Este tutorial utiliza integrales definidas y cubre tanto el método de discos (para formas sólidas) como el método de arandelas (para formas con centros huecos), completo con fórmulas, figuras visuales y problemas de práctica paso a paso.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Fórmulas de volumen
Fórmula 1: Método de discos (Alrededor del eje x)
Si \( f \) es una función tal que \( f(x) \geq 0 \) para todo \( x \) en el intervalo \( [x_1 , x_2] \), el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región delimitada por la gráfica de \( f \), el eje x (\( y = 0 \)) y las líneas verticales \( x = x_1 \) y \( x = x_2 \) está dado por:
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)]^2 \, dx \]
Fórmula 2: Método de arandelas (Alrededor del eje x)
Si \( f \) y \( h \) son funciones tales que \( f(x) \geq h(x) \) para todo \( x \) en el intervalo \( [x_1 , x_2] \), el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región delimitada por las gráficas de \( f \) y \( h \) está dado por:
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)^2 - h(x)^2] \, dx \]
Fórmula 3: Método de discos (Alrededor del eje y)
Si \( z \) es una función de \( y \) tal que \( x = z(y) \) y \( z(y) \geq 0 \) para todo \( y \) en el intervalo \( [y_1 , y_2] \), el volumen generado al girar alrededor del eje y la región delimitada por \( z \), el eje y (\( x = 0 \)) y las líneas horizontales \( y = y_1 \) y \( y = y_2 \) es:
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)]^2 \, dy \]
Fórmula 4: Método de arandelas (Alrededor del eje y)
Si \( z \) y \( w \) son funciones de \( y \) tales que \( z(y) \geq w(y) \) para todo \( y \) en el intervalo \( [y_1 , y_2] \), el volumen generado al girar alrededor del eje y la región delimitada por \( z \) y \( w \) está dado por:
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)^2 - w(y)^2] \, dy \]
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Halla el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por la gráfica de \( y = x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( x = 2 \) alrededor del eje x.
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Método 1: Fórmula geométrica
Debido a que \( y = x \) forma un triángulo, al girarlo se crea un cono circular recto con un radio de 2 y una altura de 2. Utilizando la fórmula geométrica:
\[ \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi (\text{radio})^2 (\text{altura}) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (2) = \frac{8\pi}{3} \]Método 2: Integral definida (Método de discos)
Sea \( f(x) = x \). Utilizando la fórmula 1, el volumen está dado por la integral definida de 0 a 2:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi x^2 \, dx = \left[ \pi \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8\pi}{3} \]Ejemplo 2
Halla el volumen del sólido generado al girar el semicírculo \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) alrededor del eje x, donde \( r > 0 \).
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La gráfica de \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) está delimitada desde \( x = -r \) hasta \( x = r \). El volumen está dado por el método de discos (Fórmula 1):
\[ \text{Volume} = \int_{-r}^{r} \pi \left(\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 \, dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) \, dx \]Halla la antiderivada y evalúa en los límites:
\[ = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^r \] \[ = \pi \left[ \left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi r^3 \]¡Esto deriva la conocida fórmula para el volumen de una esfera!
Ejemplo 3
Halla el volumen del sólido generado al girar la región sombreada delimitada por \( y = x \), \( y = -x + 2 \) y el eje x alrededor del eje y.
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Dado que el sólido se genera al girar alrededor del eje y, debemos reescribir nuestras ecuaciones como funciones de \( y \) (\( x = z(y) \)). Los límites de integración a lo largo del eje y van desde \( y = 0 \) hasta \( y = 1 \) (donde se intersecan las líneas).
La curva derecha es \( y = -x + 2 \implies x = 2 - y \).
La curva izquierda es \( y = x \implies x = y \).
Utilizando el método de arandelas (Fórmula 4):
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} \pi [ (2-y)^2 - y^2 ] \, dy \]Desarrolla el binomio y simplifica el integrando:
\[ = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y + y^2 - y^2 ] \, dy = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y ] \, dy \]Integra y evalúa:
\[ = \pi \left[ 4y - 2y^2 \right]_0^1 = \pi (4 - 2) = 2\pi \]Ejemplo 4
Halla el volumen del sólido generado por la rotación de la región delimitada por las curvas \( y = 1 + x^2 \) y \( y = \sqrt{x} \), alrededor del eje x desde \( x = 0 \) hasta \( x = 2 \).
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Utilizamos el método de arandelas a lo largo del eje x (Fórmula 2). Sea \( f(x) = 1 + x^2 \) (el radio exterior) y \( h(x) = \sqrt{x} \) (el radio interior).
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \] \[ = \int_{0}^{2} \pi \left( (1+x^2)^2 - (\sqrt{x})^2 \right) \, dx \]Desarrolla los cuadrados:
\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1 + 2x^2 + x^4 - x ) \, dx \]Integra usando la regla de la potencia:
\[ = \pi \left[ x + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \]Evalúa en \( x = 2 \):
\[ = \pi \left( 2 + \frac{16}{3} + \frac{32}{5} - 2 \right) = \frac{176\pi}{15} \]Ejemplo 5
Halla el volumen del toro generado cuando el círculo con centro en \( (0, R) \) y radio \( r \) gira alrededor del eje x.
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La ecuación del círculo está dada por \( x^2 + (y - R)^2 = r^2 \).
Despeja \( y \) de la ecuación para obtener los límites superior e inferior del círculo:
- Semicírculo superior: \( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \)
- Semicírculo inferior: \( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \)
Debido a la simetría con respecto al eje y, podemos integrar desde \( x = 0 \) hasta \( x = r \) y luego duplicar la respuesta para hallar el volumen total. Utilizando el método de arandelas (Fórmula 2):
\[ \frac{1}{2} \text{Volume} = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 \right] \, dx \]Cuando desarrollas y restas los cuadrados, los términos \( R^2 \) y \( (r^2 - x^2) \) se cancelan, dejando:
\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx \]La integral de \( \sqrt{r^2 - x^2} \) da como resultado el área de un cuarto de círculo, que podemos resolver utilizando reglas de sustitución trigonométrica estándar:
\[ = 4 R \pi \left( \frac{1}{2} \right) \left[ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arcsin\left(\frac{x}{r}\right) \right]_0^r \] \[ = 2 R \pi \left( r^2 \arcsin(1) - 0 \right) = 2 R \pi \left( r^2 \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 R r^2 \]Dado que esto era solo la mitad del toro, el volumen total es el doble del resultado anterior:
\[ \text{Volume} = 2 \pi^2 R r^2 \](Nota: Se ha corregido un error tipográfico menor en la derivación original de cálculo para el término arcsin por razones de precisión matemática).
Ejercicios de práctica
Haz clic en cada ejercicio para revelar la solución paso a paso.
Ejercicio 1
Halla el volumen del sólido generado cuando la región entre las gráficas de \( f(x) = x^2 + 2 \) y \( h(x) = x \) gira alrededor del eje x en el intervalo \( [0, 1] \).
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Utiliza el método de arandelas alrededor del eje x:
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2)^2 - (x)^2 \right] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 4x^2 + 4 - x^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 3x^2 + 4) \, dx \]Integra y evalúa en los límites:
\[ = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + x^3 + 4x \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{5} + 1 + 4 \right) = \frac{26\pi}{5} \]Ejercicio 2
Halla el volumen generado cuando la región finita delimitada por las curvas \( y = x^3 \) y \( y = x^2 \) gira alrededor del eje y.
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Primero, halla los puntos de intersección igualando \( x^3 = x^2 \). Las curvas se intersecan en \( x = 0 \) y \( x = 1 \), lo que corresponde a \( y = 0 \) y \( y = 1 \).
Dado que estamos rotando alrededor del eje y, necesitamos expresar \( x \) como funciones de \( y \). En el intervalo \( y \in [0, 1] \), \( y = x^3 \implies x = y^{1/3} \) es el radio exterior, y \( y = x^2 \implies x = y^{1/2} \) es el radio interior.
Utiliza el método de arandelas alrededor del eje y:
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (y^{1/3})^2 - (y^{1/2})^2 \right] \, dy = \pi \int_{0}^{1} (y^{2/3} - y) \, dy \]Integra y evalúa:
\[ = \pi \left[ \frac{3}{5}y^{5/3} - \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{10} \]