¿Cómo encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar una región limitada por la gráfica de una función alrededor de uno de los ejes usando integrales definidas? Presentaremos ejemplos basados en los métodos de discos y arandelas donde la integración es paralela al eje de rotación. Al final se presenta un conjunto de ejercicios con respuestas.
Fórmulas para calcular el volumen generado al girar gráficas de funciones alrededor de los ejes
Fórmula 1 - Disco alrededor del eje x
Si \( f \) es una función tal que \( f(x) \geq 0 \) para todo \( x \) en el intervalo \([x_1 , x_2]\), el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje x, la región limitada por la gráfica de \( f \), el eje x (\( y = 0 \)) y las líneas verticales \( x = x_1 \) y \( x = x_2 \) está dado por la integral
\[ \int_{x_1}^{x_2} \pi [ f(x)^2 - 0^2 ] \, dx \]
Figura 1. Volumen de un sólido de revolución generado al rotar un triángulo alrededor del eje x
Fórmula 2 - Arandela alrededor del eje x
Si \( f \) y \( h \) son funciones tales que \( f(x) \geq h(x) \) para todo \( x \) en el intervalo \([x_1 , x_2]\), el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje x, la región limitada por las gráficas de \( f \) y \( h \), entre \( x = x_1 \) y \( x = x_2 \) está dado por la integral
\[
\large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx}
\]
Figura 2. Volumen de un sólido de revolución generado al rotar dos curvas alrededor del eje x
Fórmula 3 - Disco alrededor del eje y
Si \( z \) es una función de \( y \) tal que \( x = z(y) \) y \( z(y) \geq 0 \) para todo \( y \) en el intervalo \([y_1 , y_2]\), el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje y, la región limitada por la gráfica de \( z \), el eje y (\( x = 0 \)) y las líneas horizontales \( y = y_1 \) y \( y = y_2 \) está dado por la integral
\[
\large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{y_1}^{y_2} \pi ( z(y) )^2 \, dy}
\]
Figura 3. Volumen de un sólido de revolución generado al rotar una curva alrededor del eje y
Fórmula 4 - Arandela alrededor del eje y
Si \( z \) y \( w \) son funciones de \( y \) tales que \( z(y) \geq w(y) \) para todo \( y \) en el intervalo \([ y_1 , y_2 ]\), el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de \( z \) y \( w \), entre \( y = y_1 \) y \( y = y_2 \), alrededor del eje y, está dado por la integral
\[
\large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{y_1}^{y_2} \pi [ z(y)^2 - w(y)^2 ] \, dy}
\]
Figura 4. Volumen de un sólido de revolución generado al rotar dos curvas alrededor del eje y
Ejemplos para Encontrar el Volumen de un Sólido de Revolución Usando Integrales Definidas
Ejemplo 1
Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de \( y = x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), y \( x = 2 \) (ver figura abajo).
Figura 5. Volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de y = x alrededor del eje x
Solución al Ejemplo 1
Presentamos dos métodos
Método 1 Este problema puede resolverse usando la fórmula para el volumen de un cono circular recto.
\[
\text{volumen} = \dfrac{1}{3} \pi \text{(radio)}^2 \text{altura}
\]
\[ = \dfrac{1}{3} \pi (2)^2 2 \]
\[ = \dfrac{8\pi}{3} \]
Método 2
Ahora usamos integrales definidas para encontrar el volumen definido anteriormente. Si tomamos \( f(x) = x \) según la fórmula 1 anterior, el volumen está dado por la integral definida
\[
\text{Volumen} = \int_{0}^{2} \pi x^2 dx = \left [\pi \dfrac{x^3}{3} \right ]_0^2 = \dfrac{8\pi}{3}
\]
El primer método funciona porque \( y = x \) es una función lineal y el volumen generado es el de un cono circular recto, sin embargo el segundo método funciona para formas diferentes a los conos y se utilizará en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 2
Encuentre el volumen del sólido generado al girar el semicírculo \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) alrededor del eje x, donde \( r > 0 \).
Solución al Ejemplo 2
Figura 6. Volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de un semicírculo alrededor del eje x
La gráfica de \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) se muestra arriba y \( y \geq 0 \) desde \( x = -r \) hasta \( x = r \). El volumen está dado por la fórmula 1 de la siguiente manera
\[
\text{Volumen} = \int_{-r}^{r} \pi (\sqrt{r^2 - x^2})^2 dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) dx \]
\[ = \pi\left [r^2 x - \dfrac{x^3}{3} \right ]_{-r}^r \]
\[ = \pi\left [ (r^3 - \dfrac{r^3}{3}) - (-r^3 + \dfrac{r^3}{3}) \right ] \]
\[ = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \]
Esta es la conocida fórmula para el volumen de la esfera. Si giras un semicírculo de radio \( r \) alrededor del eje x, se generará una esfera de radio \( r \).
Ejemplo 3
Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región sombreada (roja) alrededor del eje y.
Figura 7. Volumen de un sólido de revolución generado por un triángulo alrededor del eje y
Solución al Ejemplo 3
La región sombreada (roja) está limitada por el eje x, la línea que pasa por los puntos (0,0) y (1,1) y tiene la ecuación \( y = x \), y la línea que pasa por los puntos (1,1) y (2,0) y tiene la ecuación \( y = -x + 2 \). Dado que el sólido se genera girando alrededor del eje y, usaremos la fórmula 4 dada anteriormente para encontrar el volumen de la siguiente manera. Los límites de integración son \( y = 0 \) y \( y = 1 \)
\[
\text{Volumen} = \int_{0}^{1} \pi [ (-y+2)^2 - y^2] \, dy \]
\[ = \int_{0}^{1} \pi [ - 4y + 4] \, dy \\ = \pi \left [-2y^2+4y \right ]_0^1 = 2\pi \]
Ejemplo 4
Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de las curvas \( y = 1 + x^2 \) y \( y = \sqrt{x} \), alrededor del eje x, limitado a la izquierda por \( x = 0 \) y a la derecha por \( x = 2 \).
Figura 8. Volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de las curvas y = 1 + x^2 y y = √x, alrededor del eje x
Solución al Ejemplo 4
Ahora usamos la fórmula 2 anterior, arandelas con integración a lo largo del eje x. Los límites de integración son \( x = 0 \) y \( x = 2 \). Sean \( f(x) = 1 + x^2 \) y \( h(x) = \sqrt{x} \)
\[
\text{Volumen} = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{2} \pi ( (1+x^2)^2 - (\sqrt x)^2 ) \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1+x^4+2x^2 - x ) \, dx \]
\[ = \pi \left [ \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + x \right]_0^2 \]
\[ = \dfrac{176\pi}{15} \]
Ejemplo 5
Encuentre el volumen del toro generado cuando el círculo con centro en \( (0,R) \) y radio \( r \) se gira alrededor del eje x.
Figura 9. Toro generado cuando el círculo con centro en (0,R) y radio r se gira alrededor del eje x
Solución al Ejemplo 5
La ecuación del círculo está dada por
\[ x^2 + (y - R)^2 = r^2 \]
Resuelva la ecuación anterior para y para obtener dos soluciones, cada una para un semicírculo
\( y = R + \sqrt{r^2 - x^2} \), semicírculo superior, y \( y = R - \sqrt{r^2 - x^2} \), semicírculo inferior
El toro se genera al girar las dos mitades del semicírculo alrededor del eje x, por lo tanto se usa la fórmula 2 dada anteriormente para encontrar el volumen del toro. Sean \( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \) y \( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \). Debido a la simetría del círculo y por lo tanto del toro con respecto al eje y, integramos desde \( x = 0 \) hasta \( x = r \) y luego duplicamos la respuesta para encontrar el volumen total.
\[
\text{Volumen} = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{r} [ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 ] \, dx \]
\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} [ \sqrt{r^2 - x^2} ] \, dx \]
\[ = 4 R \pi (\dfrac{1}{2}) \left [ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arcsin(\dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}) \right ]_0^r \]
\[ = 4 R \pi ( \pi r^2 / 4) \]
\[ = {\pi}^2 R r^2\]
El volumen total es el doble del anterior, por lo tanto el volumen de un toro está dado por
\[
\text{Volumen} = 2 {\pi}^2 R r^2
\]
Ejercicios
(1) Encuentre el volumen del sólido generado cuando la región entre las gráficas de \( f(x) = x^2 + 2 \) y \( h(x) = x \) se gira alrededor del eje x en el intervalo \( [0,1] \).
(2) Encuentre el volumen generado cuando la región finita limitada por las curvas \( y = x^3 \), \( y = x^2 \) se gira alrededor del eje y (pista: necesita encontrar los puntos de intersección de las dos curvas).
