Halla la fórmula para el volumen de una pirámide cuadrada utilizando integrales en cálculo.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Problema y derivación
Problema: Se muestra una pirámide en la figura a continuación. Su base es un cuadrado de lado \( a \) y es ortogonal al eje y. La altura de la pirámide es \( H \). Utiliza las integrales y sus propiedades para hallar el volumen de la pirámide cuadrada en términos de \( a \) y \( H \).
Solución al problema:
Primero posicionamos la pirámide de modo que dos lados opuestos de la base cuadrada sean perpendiculares al eje x y el centro de su base esté en el origen del sistema de ejes x-y. Si miramos la pirámide en una dirección ortogonal al plano x-y, se verá como una figura bidimensional como se muestra a continuación. \( AC \) es la altura inclinada.
Sea \( x = A'B' \) la longitud de la mitad del lado del cuadrado a la altura \( y \). El área \( A \) del cuadrado a la altura \( y \) está dada por:
\[ A(x) = (2x)^2 \]El volumen se halla sumando todos los volúmenes \( A \, dy \) que forman la pirámide desde \( y = 0 \) hasta \( y = H \). Por lo tanto:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{H} A(x) \, dy \] \[ = 4 \int_{0}^{H} x^2 \, dy \]Ahora utilizamos el hecho de que los triángulos \( ABC \) y \( AB'C' \) son semejantes y, por lo tanto, las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales para escribir:
\[ \frac{a/2}{x} = \frac{H}{H - y} \]Ahora despejamos \( x \) de la ecuación anterior para obtener:
\[ x = \frac{a (H - y)}{2H} \]Ahora sustituimos \( x \) en la integral que da el volumen para obtener:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} (H - y)^2 \, dy \]Definamos \( t \) como:
\[ t = H - y \quad \text{y} \quad dt = -dy \]Sustituye y cambia los límites de integración para escribir el volumen de la siguiente manera:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{H}^{0} t^2 (-dt) \] \[ = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} t^2 \, dt \]Evalúa la integral y simplifica:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \left[\frac{H^3}{3}\right] \] \[ \Large \displaystyle \boxed{\text{Volume} = \frac{a^2 H}{3}} \]El volumen de una pirámide cuadrada está dado por el área de la base multiplicada por un tercio de la altura de la pirámide.