Se presentan problemas relacionados con el teorema del valor medio, con soluciones detalladas.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Teorema del valor medio: Repaso
Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a, b] \) y derivable en \( (a, b) \), entonces existe al menos un número real \( c \) en el intervalo \( (a, b) \) tal que:
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la recta tangente a la curva en \( x = c \) y la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos \( (a, f(a)) \) y \( (b, f(b)) \).
Problemas con soluciones detalladas
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Problema 1
Halla un valor de \( c \) tal que se cumpla la conclusión del teorema del valor medio para:
\[ f(x) = -2x^3 + 6x - 2 \]en el intervalo \( [-2, 2] \).
Mostrar solución al problema 1
\( f(x) \) es una función polinómica y es continua y derivable para todos los números reales. Evaluemos \( f(x) \) en \( x = -2 \) y \( x = 2 \):
\[ f(-2) = -2(-2)^3 + 6(-2) - 2 = 2 \] \[ f(2) = -2(2)^3 + 6(2) - 2 = -6 \]Evaluemos \( \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \):
\[ \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{-6 - 2}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2 \]Hallemos ahora \( f'(x) \):
\[ f'(x) = -6x^2 + 6 \]Construyamos ahora una ecuación basada en \( f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \):
\[ -6c^2 + 6 = -2 \]Despejemos \( c \) para obtener 2 soluciones:
\[ -6c^2 = -8 \implies c^2 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \] \[ c = \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \]A continuación se muestra la gráfica de \( f \), una recta secante y las dos rectas tangentes correspondientes a las dos soluciones encontradas. La secante y las dos tangentes son paralelas ya que sus pendientes son iguales según el teorema del valor medio.
Problema 2
Utiliza el teorema del valor medio para demostrar que para cualesquiera dos números reales \( a \) y \( b \):
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]Mostrar solución al problema 2
La función \( f(x) = \cos x \) es continua y derivable para todos los números reales. Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo entre \( a \) y \( b \) (asumiendo que \( a \neq b \)):
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = f'(c) \]donde \( c \) está entre \( a \) y \( b \). Como \( f'(x) = -\sin x \), tenemos:
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = -\sin c \]Tomemos el valor absoluto en ambos lados:
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| = |-\sin c| = |\sin c| \]Dado que \( |\sin c| \le 1 \) para cualquier número real \( c \), tenemos:
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| \le 1 \]Por las propiedades del valor absoluto, \( \left| \dfrac{x}{y} \right| = \dfrac{|x|}{|y|} \):
\[ \dfrac{|\cos a - \cos b|}{|a - b|} \le 1 \]Multipliquemos ambos lados por \( |a - b| \) para obtener:
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]Nota: Si \( a = b \), la desigualdad se cumple de forma trivial ya que \( 0 \le 0 \).