Teoremas de la primera y segunda derivada

Extremos, puntos estacionarios, pruebas de la primera y segunda derivada

Un tutorial sobre cómo utilizar los teoremas de cálculo que emplean la primera y segunda derivada para determinar si una función tiene un máximo o mínimo relativo, o ninguno, en un punto dado. Estos son algunos de los teoremas más importantes en la resolución de problemas.

En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.

Teoremas y pruebas de cálculo

Teorema 1 - Punto estacionario

Si la función \( f \) tiene un mínimo o máximo relativo en \( x = a \), entonces tenemos que \( f'(a) = 0 \) (punto estacionario) o bien \( f'(a) \) no existe.

Una gráfica de una función y su derivada para explicar el teorema 1
Figura 1. Teorema 1: Función \( f \) y su derivada \( f' \)

Como ejemplo, arriba se muestran la gráfica de \( f \) y su derivada \( f' \). En el máximo (\( x = 2 \)) y el mínimo (\( x = -2 \)) de \( f \), se cumple que \( f' = 0 \).

Teorema 2 - Prueba de la primera derivada

Sea \( f \) una función continua.

  • 2.a - Si \( f'(a) = 0 \) o \( f'(x) \) no existe en \( x = a \), y si \( f'(x) < 0 \) a la izquierda de \( a \) y \( f'(x) > 0 \) a la derecha de \( a \), entonces \( f \) tiene un mínimo relativo en \( x = a \).
  • 2.b - Si \( f'(a) = 0 \) o \( f'(x) \) no existe en \( x = a \), y si \( f'(x) > 0 \) a la izquierda de \( a \) y \( f'(x) < 0 \) a la derecha de \( a \), entonces \( f \) tiene un máximo relativo en \( x = a \).

Tanto 2.a como 2.b se pueden verificar claramente utilizando la gráfica de la Figura 1 anterior.

  • 2.c - Si \( f'(a) \) tiene el mismo signo a la izquierda y a la derecha de \( x = a \), entonces \( f \) no tiene un mínimo ni un máximo.

La gráfica de la Figura 2 a continuación muestra la gráfica de una función \( f \) que no tiene ni mínimo ni máximo, y cuya primera derivada no cambia de signo.

Una gráfica de una función y su derivada para explicar parte del teorema 2
Figura 2. Teorema 2: La función \( f \) y su derivada \( f' \) no cambian de signo

Teorema 3 - Prueba de la primera y segunda derivada

Supóngase que tanto \( f' \) como \( f'' \) existen en \( x = a \) y que \( f'(a) = 0 \) (punto estacionario).

  • 3.a - Si \( f''(a) > 0 \), \( f \) tiene un mínimo relativo en \( x = a \).
  • 3.b - Si \( f''(a) < 0 \), \( f \) tiene un máximo relativo en \( x = a \).
  • 3.c - Si \( f''(a) = 0 \), no se puede llegar a ninguna conclusión; utilice el Teorema 2 anterior.

A continuación se muestra la gráfica de la función \( f \), su primera derivada \( f' \) y su segunda derivada \( f'' \). Podemos comprobar fácilmente que:

  1. En el punto (\( x = -2 \)) donde \( f'(-2) = 0 \) y \( f''(-2) < 0 \), \( f \) tiene un máximo relativo.
  2. En el punto (\( x = 2 \)) donde \( f'(2) = 0 \) y \( f''(2) > 0 \), \( f \) tiene un mínimo relativo.
Una gráfica de una función y sus derivadas para explicar el teorema 3
Figura 3. Teorema 3: La función \( f \), su primera derivada \( f' \) y su segunda derivada \( f'' \)

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