Un tutorial sobre cómo usar los teoremas del cálculo que emplean la primera y segunda derivada para determinar si una función tiene un máximo o mínimo relativo, o ninguno, en un punto dado. Estos son algunos de los teoremas más importantes en la resolución de problemas.
Teorema 1 - Punto Estacionario
Si la función \(f\) tiene un mínimo o máximo relativo en \(x = a\), entonces tenemos \(f'(a) = 0\) (punto estacionario) o \(f'(a)\) no existe.
Figura 1: Teorema 1: Función \(f\) y su derivada
Como ejemplo, se muestra la gráfica de \(f\) y su derivada \(f'\). En el máximo (\(x = 2\)) y el mínimo (\(x = -2\)) de \(f\), se cumple que \(f' = 0\).
Teorema 2 - Criterio de la Primera Derivada
Sea \(f\) una función continua.
2.a - Si \(f'(a) = 0\) o \(f'(x)\) no existe en \(x = a\) y si \(f'(x) \lt 0\) a la izquierda de \(a\) y \(f'(a) > 0\) a la derecha de \(a\), entonces \(f\) tiene un mínimo relativo en \(x = a\).
2.b - Si \(f'(a) = 0\) o \(f'(x)\) no existe en \(x = a\) y si \(f'(x) > 0\) a la izquierda de \(a\) y \(f'(a) \lt 0\) a la derecha de \(a\), entonces \(f\) tiene un máximo relativo en \(x = a\).
Tanto 2.a como 2.b pueden verificarse claramente usando la gráfica de la figura 1.
3.b - Si \(f'(a)\) tiene el mismo signo a la izquierda y a la derecha de \(x = a\), entonces \(f\) no tiene mínimo ni máximo.
La gráfica en la figura 2 muestra la gráfica de una función \(f\) que no tiene mínimo ni máximo y su primera derivada no cambia de signo.
Figura 2: Teorema 2: Función \(f\) y su derivada, \(f'\) no cambia de signo
Teorema 3 - Criterio de la Primera y Segunda Derivada
Supongamos que tanto \(f'\) como \(f''\) existen en \(x = a\) y que \(f'(a) = 0\) (punto estacionario).
3.a - Si \(f''(a) > 0\), \(f\) tiene un mínimo relativo en \(x = a\).
3.b - Si \(f''(a) \lt 0\), \(f\) tiene un máximo relativo en \(x = a\).
3.c - Si \(f''(a) = 0\), no se puede llegar a ninguna conclusión; se debe usar el teorema 2.
A continuación se muestran las gráficas de la función \(f\), su primera derivada \(f'\) y su segunda derivada \(f''\). Podemos comprobar fácilmente que:
1) en el punto (\(x = -2\)) donde \(f'(-2) = 0\) y \(f''(-2) \lt 0\), \(f\) tiene un máximo
2) también en el punto (\(x = 2\)) donde \(f'(2) = 0\) y \(f''(2) > 0\), \(f\) tiene un mínimo en \(x = 2\).
Figura 3: Teorema 3: Función \(f\), su primera derivada \(f'\) y su segunda derivada \(f''\).
