Maximiza el área de un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo utilizando la primera derivada. El problema y su solución detallada se presentan a continuación.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema con solución
BDEF es un rectángulo inscrito en el triángulo rectángulo ABC cuyas longitudes de lado son 40 y 30. Halla las dimensiones del rectángulo BDEF para que su área sea máxima.
Mostrar solución al problema
Sea la longitud BF del rectángulo \( y \) y el ancho BD \( x \). El área del triángulo rectángulo está dada por:
\[ \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \]El área del triángulo rectángulo también se puede calcular como la suma de las áreas del triángulo BEC y el triángulo BEA (particionado por el rectángulo). Por lo tanto:
\[ 600 = \frac{1}{2} \times 40 \times y + \frac{1}{2} \times 30 \times x \]Sea \( A \) el área del rectángulo. Por lo tanto:
\[ A = y \times x \]Ahora utilizamos la primera ecuación para expresar \( y \) en términos de \( x \):
\[ y = \frac{600 - 15x}{20} \]Sustituimos \( y \) en \( A \) para obtener el área como una función de \( x \):
\[ A(x) = \frac{x(600 - 15x)}{20} \]Un desarrollo de \( A(x) \) muestra que \( A(x) \) es una función cuadrática con un coeficiente principal negativo y, por lo tanto, tiene un valor máximo:
\[ A(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 30x \]A continuación se muestra la gráfica de \( A(x) \) como función de \( x \). \( A(x) \) tiene un valor máximo para \( x = 20 \), como se verifica analíticamente a continuación:
Ahora calculamos la primera derivada de \( A(x) \):
\[ A'(x) = -\frac{3}{2}x + 30 \]Establecemos \( A'(x) = 0 \) y resolvemos para \( x \):
\[ -\frac{3}{2}x + 30 = 0 \implies x = 20 \]Es fácil comprobar que \( A'(x) \) es positivo para \( x < 20 \) y negativo para \( x > 20 \), lo que confirma que \( A(x) \) tiene un máximo en \( x = 20 \).
El área máxima está dada por \( A(20) \):
\[ A(20) = -\frac{3}{4} \times 20^2 + 30 \times 20 = 300 \]Ahora hallamos \( y \) utilizando la fórmula del área:
\[ A = 300 = x \times y \implies y = \frac{300}{20} = 15 \]Conclusión: Las dimensiones del rectángulo que maximizan su área son \( x = 20 \) e \( y = 15 \).