Maximiza el área de un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo utilizando la primera derivada. El problema y su solución se presentan a continuación.
BDEF es un rectángulo inscrito en el triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos miden 40 y 30. Encuentra las dimensiones del rectángulo BDEF para que su área sea máxima.
Solución al Problema:
Sea la longitud BF del rectángulo \( y \) y el ancho BD \( x \). El área del triángulo rectángulo está dada por \( \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \). Pero el área del triángulo rectángulo también se puede calcular como la suma de las áreas de los triángulos BEC y BEA. Por lo tanto:
\[ 600 = \frac{1}{2} \times 40 \times y + \frac{1}{2} \times 30 \times x \]
Sea \( A \) el área del rectángulo. Por lo tanto:
\[ A = y \times x \]
Usamos ahora la primera ecuación para expresar \( y \) en términos de \( x \) de la siguiente manera:
\[ y = \frac{600 - 15x}{20} \]
Sustituimos en \( A \) para obtener:
\[ A(x) = \frac{x(600 - 15x)}{20} \]
La gráfica de \( A(x) \) como función de \( x \) se muestra a continuación. \( A(x) \) tiene un valor máximo para \( x = 20 \). Esto también se demostrará analíticamente.
Una expansión de \( A(x) \) muestra que \( A(x) \) es una función cuadrática con coeficiente principal negativo y, por lo tanto, tiene un valor máximo.
\[ A(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 30x \]
Ahora calculamos la primera derivada de \( A \).
\[ A'(x) = -\frac{3}{2}x + 30 \]
Igualamos \( A'(x) = 0 \) y resolvemos para \( x \).
\[ x = 20 \]
Es fácil comprobar que \( A'(x) \) es positiva para \( x \lt 20 \) y negativa para \( x > 20 \) y, por lo tanto, \( A(x) \) tiene un máximo en \( x = 20 \).
El área máxima está dada por \( A(20) \)
\[ A(20) = -\frac{3}{4} \times 20^2 + 30 \times 20 = 300 \]
Ahora encontramos \( y \) de la siguiente manera:
\[ A = 300 = x \times y , \quad y = \frac{300}{20} = 15 \]
Las dimensiones del rectángulo que hacen máxima su área son \( x = 20 \) y \( y = 15 \).