Un tutorial sobre cómo utilizar la primera y segunda derivada, en cálculo, para estudiar las propiedades de las gráficas de funciones.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Teoremas
Para graficar funciones en cálculo, primero revisamos varios teoremas. Se utilizan tres teoremas para hallar máximos y mínimos utilizando la primera y segunda derivada, y aquí se combinan con dos teoremas adicionales para estudiar gráficas de funciones completas.
Teorema 4: Si \( f \) está definida en el intervalo \( [I_1, I_2] \) y es derivable en el intervalo \( (I_1, I_2) \), entonces:
- 4.a: Si \( f'(x) > 0 \) en \( (I_1, I_2) \), entonces \( f \) es creciente en \( [I_1, I_2] \).
- 4.b: Si \( f'(x) < 0 \) en \( (I_1, I_2) \), entonces \( f \) es decreciente en \( [I_1, I_2] \).
- 4.c: Si \( f'(x) = 0 \) en \( (I_1, I_2) \), entonces \( f \) es constante en \( [I_1, I_2] \).
Teorema 5: Si \( f \) es dos veces derivable en el intervalo \( (I_1, I_2) \), entonces:
- 5.a: Si \( f''(x) > 0 \) en \( (I_1, I_2) \), entonces \( f \) es cóncava hacia arriba en \( [I_1, I_2] \).
- 5.b: Si \( f''(x) < 0 \) en \( (I_1, I_2) \), entonces \( f \) es cóncava hacia abajo en \( [I_1, I_2] \).
Ejemplos con soluciones detalladas
Presentamos ejemplos de cómo graficar funciones utilizando los teoremas de "uso de la primera y segunda derivada" y los Teoremas 4 y 5 anteriores.
Haz clic en cada cuadro de solución para ver la guía paso a paso para el trazo de curvas.
Ejemplo 1
Utiliza los teoremas de la primera y segunda derivada para graficar la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = x^2 \]Mostrar solución al ejemplo 1
Paso 1: Halla la primera derivada, los puntos estacionarios y el signo de \( f'(x) \) para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
\[ f'(x) = 2x \]Los puntos estacionarios son soluciones de \( f'(x) = 2x = 0 \), lo que da \( x = 0 \).
\( f'(x) \) es negativa en \( (-\infty, 0) \), por lo que \( f \) decrece allí (Teorema 4.b). \( f'(x) \) es positiva en \( (0, +\infty) \), por lo que \( f \) crece allí (Teorema 4.a). Según el Teorema 2, \( f \) tiene un mínimo en \( x = 0 \).
Paso 2: Halla la segunda derivada, su signo y la información de concavidad.
\[ f''(x) = 2 \quad (\text{siempre positiva}) \]Esto confirma un mínimo en \( x = 0 \) ya que \( f''(0) = 2 > 0 \). La gráfica es cóncava hacia arriba en \( (-\infty, +\infty) \) (Teorema 5.a).
Paso 3: Halla las intersecciones y los extremos.
Intersección con el eje \( y \): \( f(0) = 0 \). Intersecciones con el eje \( x \): \( x^2 = 0 \implies x = 0 \).
El punto mínimo está en \( (0, 0) \).
Paso 4: Esboza la gráfica.
A medida que \( x \to \pm\infty \), \( f(x) = x^2 \to +\infty \).
Ejemplo 2
Utiliza los teoremas de la primera y segunda derivada para graficar la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \]Mostrar solución al ejemplo 2
Paso 1: Primera derivada y puntos estacionarios.
\[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 \]Resolver \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \) produce los puntos críticos \( x = 2 \) e \( x = \dfrac{2}{3} \).
Paso 2: Segunda derivada y puntos de inflexión.
\[ f''(x) = 6x - 8 \]Resolver \( 6x - 8 = 0 \) da \( x = \dfrac{4}{3} \), donde cambia la concavidad (punto de inflexión).
Paso 3: Intersecciones y comportamiento en los extremos.
Intersección con el eje \( y \): \( f(0) = 0 \).
Intersecciones con el eje \( x \): factorizando \( x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2 = 0 \), lo que da \( x = 0 \) e \( x = 2 \) (multiplicidad 2).
A medida que \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). A medida que \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \).
Paso 4: Tabla de signos y gráfica.
