Primera, Segunda Derivada y Gráficas de Funciones
Un tutorial sobre cómo usar la primera y segunda derivada, en cálculo, para estudiar las propiedades de las gráficas de funciones.
Teoremas
Para graficar funciones en cálculo, primero repasamos varios teoremas. Se han utilizado tres teoremas para encontrar máximos y mínimos usando la primera y segunda derivada y se utilizarán para graficar funciones. Necesitamos 2 teoremas más para poder estudiar las gráficas de funciones usando la primera y segunda derivada.
Teorema 4: Si \( f \) está definida en el intervalo \( [ I_1 , I_2 ] \) y es diferenciable en el intervalo \( (I_1 , I_2) \), y
4.a Si \( f' (x) > 0 \) en \( (I_1 , I_2) \), entonces \( f \) es creciente en [\( I_1 , I_2 \)].
4.b Si \( f' (x) \lt 0 \) en \( (I_1 , I_2) \), entonces \( f \) es decreciente en [\( I_1 , I_2 \)].
4.c Si \( f' (x) = 0 \) en \( (I_1 , I_2) \), entonces \( f \) es constante en [\( I_1 , I_2 \)].
Teorema 5: Si \( f \) es dos veces diferenciable en el intervalo \( (I_1 , I_2) \) y
5.a Si \( f'' (x) > 0 \) en \( (I_1 , I_2) \), entonces \( f \) es cóncava hacia arriba en [\( I_1 , I_2 \)].
5.b Si \( f'' (x) \lt 0 \) en \( (I_1 , I_2) \), entonces \( f \) es cóncava hacia abajo en [\( I_1 , I_2 \)].
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Presentaremos ejemplos de graficación de funciones utilizando los teoremas en "uso de la primera y segunda derivada" y los teoremas 4 y 5 anteriores.
Ejemplo 1
Utiliza los teoremas de la primera y segunda derivada para graficar la función \( f \) definida por
\( f(x) = x^2 \)
Solución al Ejemplo 1.
paso 1: Encuentra la primera derivada, los puntos estacionarios y el signo de \( f' (x) \) para encontrar intervalos donde \( f \) crece o decrece.
\( f' (x) = 2x \)
Los puntos estacionarios son soluciones a:
\( f' (x) = 2x = 0 \), lo que da \( x = 0 \).
El signo de \( f' (x) \) se muestra en la tabla a continuación.
\( f' (x) \) es negativa en \((-∞ , 0)\) y por lo tanto \( f \) decrece en este intervalo según el teorema 4 anterior.
\( f' (x) \) es positiva en \((0 , ∞)\) y por lo tanto \( f \) crece en este intervalo según el teorema 4 anterior.
También, según el teorema 2(parte a) "uso de la primera y segunda derivada", \( f \) tiene un mínimo en \( x = 0 \).
paso 2: Encuentra la segunda derivada, sus signos y cualquier información sobre la concavidad.
\( f ''(x) = 2 \) y siempre es positiva (esto confirma que \( f \) tiene un valor mínimo en \( x = 0 \) ya que \( f ''(0) = 2 \), la gráfica de \( f \) será cóncava hacia arriba en \((-∞ , +∞)\) según el teorema 5(parte a) anterior.
paso 3: Encuentra las intersecciones con los ejes \( x \) e \( y \) y los extremos.
Intersección con el eje \( y \) = \( f(0) = 0 \).
Las intersecciones con el eje \( x \) se encuentran resolviendo \( f(x) = x^2 = 0 \). Intersección con el eje \( x \) = 0.
Por los signos de \( f' \) y \( f'' \), hay un mínimo en \( x = 0 \), lo que da el punto mínimo en \( (0 , 0) \).
paso 4: Coloca toda la información en una tabla y grafica \( f \).
También, a medida que \( x \) se vuelve muy grande (+∞) o muy pequeño (-∞), \( f(x) = x^2 \) se vuelve muy grande.
Ver la tabla anterior y la gráfica a continuación.
Ejemplo 2
Utiliza los teoremas de la primera y segunda derivada para graficar la función \( f \) definida por
\( f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \)
Solución al Ejemplo 2.
paso 1: \( f ' (x) = 3x^2 - 8x + 4 \).
Resolver: \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \)
Las soluciones son: \( x = 2 \) y \( x = \frac{2}{3} \).
Ver la tabla de signos a continuación, que también muestra el intervalo de crecimiento/decrecimiento y los puntos máximos y mínimos.
paso 2: \( f '' (x) = 6x - 8 \).
Resolver \( 6x - 8 = 0 \); la solución es \( x = \frac{4}{3} \) punto de inflexión donde cambia la concavidad. Ver el signo y la concavidad en la tabla a continuación.
paso 3: Intersección con el eje \( y \) = \( f(0) = 0 \). Intersecciones con el eje \( x \) resolver \( x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \).
Factorizar \( x \): \( x(x^2 - 4x + 4) = 0 \) y resolver la ecuación cuadrática \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0 \) para encontrar las soluciones: \( x = 0, x = 2 \) de multiplicidad 2.
También, a medida que \( x \) se vuelve muy grande (+∞), \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \) se vuelve muy grande (+∞). A medida que \( x \) se vuelve muy pequeño (-∞), \( f(x) \) se vuelve muy pequeño (-∞).
paso 4: La tabla y la gráfica se muestran a continuación.
Más Enlaces y Referencias
problemas de cálculo