Maximiza el área de un rectángulo inscrito en un triángulo utilizando la primera derivada. Este problema de optimización y su solución se presentan a continuación.
OAB es un triángulo cuyos vértices están dados. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en el triángulo y con uno de sus lados sobre el lado OA del triángulo.
Solución al Problema:
En la figura siguiente, un rectángulo con los vértices superiores en los lados del triángulo, un ancho \(W\) y una longitud \(L\) está inscrito dentro del triángulo dado. Primero necesitamos encontrar una fórmula para el área del rectángulo en términos de \(x\) solamente.
La pendiente \(m_1\) de la línea que pasa por OB está dada por
\[ m_1 = \frac{12 - 0}{6 - 0} = 2 \]
Sean \((x,y)\) las coordenadas del vértice superior izquierdo del rectángulo. Por lo tanto
\[ m_1 = 2 = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x} \]
De aquí, el ancho \(W\) del rectángulo está dado por
\[ W = y = 2x \]
La pendiente \(m_2\) que pasa por AB está dada por
\[ m_2 = \frac{12 - 0}{6 - 10} = -3 \]
Si el vértice superior derecho del rectángulo tiene coordenadas \((x , y)\) entonces
\[ m_2 = -3 = \frac{y - 0}{x - 10} \]
Por lo tanto
\[ y = -3x + 30 \]
Si sustituimos \(x\) por \(x + L\) en la ecuación anterior, entonces \(y\) es igual a \(W\), el ancho del rectángulo
\[ y = W = -3(x + L) + 30 \]
Ahora igualamos las expresiones de \(W = 2x\) y \(W = -3(x + L) + 30\) para encontrar una expresión para \(L\)
\[ 2x = -3(x + L) + 30 \]
Resolvemos la ecuación anterior para \(L\)
\[ L = 10 - \frac{5}{3}x \]
El área \(A\) está dada por
\[ A = W L = 2x \left(10 - \frac{5}{3}x\right) = -\frac{10}{3} x^2 + 20x \]
\(A\) es una función cuadrática de \(x\), de la forma \(ax^2 + bx + c\), y su coeficiente principal \(a = -\frac{10}{3}\) es negativo, por lo tanto tiene un valor máximo en el valor crítico de la primera derivada \(A'\) de \(A\)
\[ A'(x) = -\frac{20}{3}x + 20 \]
El punto crítico se encuentra resolviendo la ecuación \(A'(x) = 0\). Por lo tanto
\[ -\frac{20}{3}x + 20 = 0 \]
El punto crítico está dado por \(x = 3\)
El área \(A\) del rectángulo tiene un valor máximo para \(x = 3\),
\(W = 2x = 6\)
y
\(L = 10 - \frac{5}{3} \times 3 = 5\)
Más referencias sobre
problemas de cálculo