Maximiza el área de un rectángulo inscrito en un triángulo utilizando la primera derivada. Este problema de optimización y su solución detallada se presentan a continuación.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
OAB es un triángulo con vértices dados. Halla las dimensiones del rectángulo con área máxima inscrito en el triángulo de tal manera que uno de sus lados descanse sobre el lado OA del triángulo.
Mostrar solución al problema
En la figura a continuación, un rectángulo con ancho \( W \) y longitud \( L \) está inscrito dentro del triángulo, con sus vértices superiores apoyados sobre los lados del triángulo. Primero encontramos una fórmula para el área del rectángulo en términos de \( x \) únicamente.
La pendiente \( m_1 \) de la línea a través de OB está dada por:
\[ m_1 = \frac{12 - 0}{6 - 0} = 2 \]Sean \( (x, y) \) las coordenadas del vértice superior izquierdo del rectángulo. Por lo tanto:
\[ m_1 = 2 = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x} \]Por lo tanto, el ancho \( W \) del rectángulo está dado por:
\[ W = y = 2x \]La pendiente \( m_2 \) de la línea a través de AB (desde \( (6, 12) \) hasta \( (10, 0) \)) está dada por:
\[ m_2 = \frac{0 - 12}{10 - 6} = \frac{-12}{4} = -3 \]Si el vértice superior derecho del rectángulo tiene coordenadas \( (x + L, y) \), este se encuentra sobre la línea AB que pasa por \( (10, 0) \):
\[ m_2 = -3 = \frac{y - 0}{(x + L) - 10} \]Despejando \( y \):
\[ y = -3(x + L - 10) = -3(x + L) + 30 \]Dado que \( y = W = 2x \), igualamos ambas expresiones para \( y \):
\[ 2x = -3(x + L) + 30 \]Despejando \( L \):
\[ 2x = -3x - 3L + 30 \implies 3L = 30 - 5x \implies L = 10 - \frac{5}{3}x \]El área \( A \) del rectángulo está dada por:
\[ A = W \cdot L = 2x \left(10 - \frac{5}{3}x\right) = -\frac{10}{3}x^2 + 20x \]\( A \) es una función cuadrática de \( x \) de la forma \( ax^2 + bx + c \). Dado que su coeficiente principal \( a = -\dfrac{10}{3} \) es negativo, tiene un valor máximo en el punto crítico de su primera derivada \( A'(x) \).
Calculando la primera derivada:
\[ A'(x) = -\frac{20}{3}x + 20 \]Estableciendo \( A'(x) = 0 \) para hallar los puntos críticos:
\[ -\frac{20}{3}x + 20 = 0 \implies x = 3 \]Por lo tanto, el área \( A \) del rectángulo tiene un valor máximo en \( x = 3 \), con las dimensiones:
- \( W = 2x = 2(3) = 6 \)
- \( L = 10 - \frac{5}{3}(3) = 10 - 5 = 5 \)
El área máxima es \( A = 6 \times 5 = 30 \).