Área Máxima de un Triángulo - Problema de Optimización con Solución
La primera derivada se utiliza para maximizar el área de un triángulo inscrito en una circunferencia. Un problema de optimización con solución.
Problema
En la figura siguiente, el triángulo ABC está inscrito dentro de una circunferencia de centro O y radio r. Para un radio r constante de la circunferencia, el punto B se desliza a lo largo de la circunferencia de modo que el área de ABC cambia. Encuentra la longitud de los lados AB y CB para que el área del triángulo ABC sea máxima.
Solución al Problema:
Dado que el centro O de la circunferencia está en el lado AC del triángulo, AC es un diámetro de la circunferencia y el triángulo ABC es un triángulo rectángulo (teorema de Tales). Su ángulo recto está en B y su hipotenusa AC tiene una longitud igual a \(2r\). (ver figura abajo)
El área \(S\) del triángulo viene dada por
\[ S = \frac{1}{2} AB \times CB \]
Utilizando el ángulo \(t\), \(AB\) y \(CB\) se pueden expresar como sigue
\[ AB = AC \times \cos t \quad \text{y} \quad CB = AC \times \sin t \]
Sustituye \(AB\) por \(AC \times \cos t\) y \(CB\) por \(AC \times \sin t\) en la fórmula anterior para el área, obtenemos
\[ S = \frac{1}{2} AC^2 \cos t \sin t \]
Ahora usamos la fórmula trigonométrica \(\sin(2t) = 2 \sin t \cos t\) para expresar el área \(S\) de la siguiente manera.
\[ S = \frac{1}{4}AC^2 \sin(2t) \]
Dado que el radio \(r\) es constante, la longitud del diámetro \(AC\) también es constante, por lo tanto, el área depende únicamente del ángulo \(t\) a medida que el punto B se desliza a lo largo de la circunferencia. Para encontrar \(t\) tal que \(S\) sea máxima, necesitamos encontrar la primera derivada y los puntos estacionarios.
\[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{4}AC^2 \cdot 2 \cos(2t) \]
Ahora igualamos \(\frac{dS}{dt}\) a cero para encontrar puntos estacionarios y el intervalo de crecimiento y decrecimiento.
\[ \frac{1}{4}AC^2 \cdot 2 \cos(2t) = 0 \]
A medida que el punto B se desliza a lo largo de la circunferencia, el ángulo \(t\) cambia de 0 a 90 grados. Entonces, la única solución a la ecuación anterior en el intervalo \( (0 , 90) \) es
\[ 2t = 90 \quad \text{o} \quad t = 45 \text{ grados} \]
Cuando \(t\) cambia de 0 a 45, \(2t\) cambia de 0 a 90 y \(\frac{dS}{dt}\) es positivo en este intervalo. Cuando \(t\) cambia de 45 a 90, \(2t\) cambia de 90 a 180 grados y \(\frac{dS}{dt}\) es negativo en este intervalo. \(t = 45\) grados es la ubicación de un valor máximo para el área \(S\).
Cuando \(t = 45\) grados, el área del triángulo rectángulo inscrito es máxima. Las longitudes de los lados \(AB\) y \(CB\) vienen dadas por
\[ AB = AC \times \cos (45 \text{ grados}) = 2r \sqrt{2} \]
y
\[ CB = AC \times \sin (45 \text{ grados}) = 2r \sqrt{2} \]
El área es máxima cuando \(t = 45\) grados, lo que también significa que el triángulo rectángulo es isósceles.
Referencias y Enlaces
Problemas de cálculo