La primera derivada se utiliza para maximizar el área de un triángulo inscrito en un círculo. A continuación se presenta un problema de optimización con su solución detallada.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
En la imagen de abajo, el triángulo ABC está inscrito dentro de un círculo de centro O y radio \( r \). Para un radio constante \( r \) del círculo, el punto B se desliza a lo largo del círculo de modo que el área de ABC cambia. Halla las longitudes de los lados AB y CB para que el área del triángulo ABC sea máxima.
Mostrar solución al problema
Dado que el centro O del círculo está sobre el lado AC del triángulo, AC es un diámetro del círculo y el triángulo ABC es un triángulo rectángulo (teorema de Tales). Su ángulo recto está en B y su hipotenusa AC tiene una longitud igual a \( 2r \) (ver figura a continuación).
El área \( S \) del triángulo está dada por:
\[ S = \frac{1}{2} AB \times CB \]Utilizando el ángulo \( t \), \( AB \) y \( CB \) se pueden expresar de la siguiente manera:
\[ AB = AC \cos t \quad \text{y} \quad CB = AC \sin t \]Sustituye \( AB \) y \( CB \) en la fórmula para el área:
\[ S = \frac{1}{2} AC^2 \cos t \sin t \]Utilizando la identidad trigonométrica \( \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \), expresamos el área \( S \) como:
\[ S = \frac{1}{4} AC^2 \sin(2t) \]Dado que el radio \( r \) es constante, la longitud del diámetro \( AC = 2r \) también es constante. Por lo tanto, el área depende únicamente del ángulo \( t \) a medida que el punto B se desliza a lo largo del círculo. Para hallar \( t \) de modo que \( S \) sea máxima, calculamos la primera derivada con respecto a \( t \):
\[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{4} AC^2 \cdot 2 \cos(2t) = \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) \]Igualando \( \frac{dS}{dt} \) a cero para hallar los puntos estacionarios:
\[ \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) = 0 \implies \cos(2t) = 0 \]A medida que el punto B se desliza a lo largo del círculo, el ángulo \( t \) cambia de \( 0 \) a \( 90^\circ \). La solución de \( \cos(2t) = 0 \) en el intervalo \( (0^\circ, 90^\circ) \) es:
\[ 2t = 90^\circ \implies t = 45^\circ \]A medida que \( t \) cambia de \( 0^\circ \) a \( 45^\circ \), \( 2t \) cambia de \( 0^\circ \) a \( 90^\circ \) y \( \frac{dS}{dt} \) es positiva. A medida que \( t \) cambia de \( 45^\circ \) a \( 90^\circ \), \( 2t \) cambia de \( 90^\circ \) a \( 180^\circ \) y \( \frac{dS}{dt} \) es negativa. Por lo tanto, \( t = 45^\circ \) da el valor máximo para el área \( S \).
Cuando \( t = 45^\circ \), las longitudes de los lados \( AB \) y \( CB \) son:
\[ AB = AC \cos(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \] \[ CB = AC \sin(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \]Conclusión: El área es máxima cuando \( t = 45^\circ \), lo que significa que el triángulo rectángulo inscrito es un triángulo rectángulo isósceles con longitudes de lado \( AB = CB = r\sqrt{2} \).