Utiliza la derivada para hallar el tamaño de un ángulo de un triángulo rectángulo de modo que el radio del círculo inscrito sea máximo, para una hipotenusa constante.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
ABC es un triángulo rectángulo y \( r \) es el radio del círculo inscrito.
a) Expresa \( r \) en términos del ángulo \( x \) y la longitud de la hipotenusa \( h \).
b) Asume que \( h \) es constante y \( x \) varía; halla \( x \) para el cual \( r \) es máximo.
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a) Sean M, N y P los puntos de tangencia del círculo con los lados del triángulo. \( OM \), \( ON \) y \( OP \) son perpendiculares a \( CB \), \( CA \) y \( AB \) respectivamente.
Los triángulos COM y CON son triángulos rectángulos y tienen dos lados congruentes (\( CO \) y los radios \( OM = ON = r \)); por lo tanto, los dos triángulos son congruentes. Denotamos el tamaño del ángulo \( MCN \) por \( x \) y escribimos:
\[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{r}{CM} \]Los triángulos BOM y BOP son triángulos rectángulos y tienen dos lados congruentes (\( BO \) y los radios \( OM = OP = r \)); por lo tanto, los dos triángulos son congruentes. Denotamos el tamaño del ángulo \( MBP \) por \( y \) y escribimos:
\[ \tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]Nota que \( y + x = 90^\circ \), lo que da \( \dfrac{y}{2} = 45^\circ - \dfrac{x}{2} \).
Sustituye \( \dfrac{y}{2} \) en la ecuación para \( BM \):
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]Despejando \( CM \) y \( BM \):
\[ CM = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}, \quad BM = \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} \]Utilizando el hecho de que \( h = CM + BM \):
\[ h = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)} + \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} \right] \]Utilizando la identidad trigonométrica para la diferencia de tangentes:
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan(45^\circ)\tan\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]Sustituye esto de nuevo en la fórmula para \( h \):
\[ h = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \right] \]Espera, revisemos el término recíproco:
\[ \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]Utilizando \( \tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} \), simplificamos a:
\[ h = r \left[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right] = r \left[ \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)} \right] \]Despejando \( r \):
\[ r = h \sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right) = h \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right) \]Utilizando las identidades de ángulo medio y de producto (\( \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sin x \) y \( \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - \cos x}{2} \)):
\[ r = \frac{h}{2} (\sin x + \cos x - 1) \]b) Asume que \( h \) es constante. Halla la primera derivada de \( r \) con respecto a \( x \):
\[ \frac{dr}{dx} = \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) \]Establece \( \dfrac{dr}{dx} = 0 \) para hallar los puntos críticos:
\[ \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) = 0 \implies \cos x = \sin x \]Dado que \( x \) es un ángulo agudo en el triángulo rectángulo, resolver \( \cos x = \sin x \) da:
\[ x = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
Dado que \( \dfrac{dr}{dx} > 0 \) para \( x < \dfrac{\pi}{4} \) y \( \dfrac{dr}{dx} < 0 \) para \( x > \dfrac{\pi}{4} \), \( r \) tiene un máximo absoluto en \( x = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ \). En este caso, el triángulo ABC es isósceles.