Radio Máximo de un Círculo
Problema de Optimización con Solución
Utiliza la derivada para encontrar el valor de un ángulo de un triángulo rectángulo, de manera que el radio del círculo inscrito sea máximo; para una hipotenusa constante.
Problema
ABC es un triángulo rectángulo y \(r\) es el radio del círculo inscrito.
a) Expresa \(r\) en términos del ángulo \(x\) y la longitud de la hipotenusa \(h\).
b) Supón que \(h\) es constante y \(x\) varía; encuentra \(x\) para el cual \(r\) es máximo.
Solución del Problema:
a) Sean M, N y P los puntos de tangencia del círculo y los lados del triángulo. \(OM\), \(ON\) y \(OP\) son perpendiculares a \(CB\), \(CA\) y \(AB\) respectivamente.
Los triángulos COM y CON son triángulos rectángulos y tienen dos lados congruentes: \(CO\) y \(OM\) y \(ON\); los dos triángulos son por lo tanto congruentes. Denotamos el tamaño del ángulo \(MCN\) por \(x\) y escribimos
\[
\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{r}{CM}
\]
Los triángulos BOM y BOP son triángulos rectángulos y tienen dos lados congruentes: \(BO\) y \(OM\) y \(OP\); los dos triángulos son por lo tanto congruentes. Denotamos el tamaño del ángulo \(MBP\) por \(y\) y escribimos
\[
\tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{r}{BM}
\]
Nótese que
\(y + x = 90\) lo que da \(y / 2 = 45 - x / 2\)
Sustituye \(y / 2\) por \(45 - x / 2\) en la ecuación \(\tan\left(\dfrac{y}{2}\right) = \dfrac{r}{BM}\) para obtener
\[
\tan\left(45 - \frac{x}{2}\right) = \frac{r}{BM}
\]
Ahora resolvemos la ecuación \(\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{r}{CM}\) para \(CM\) y resolvemos la ecuación \(\tan\left(45 - \dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{r}{BM}\) para \(BM\) para obtener
\(CM = \dfrac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}\) y \(BM = \dfrac{r}{\tan\left(45 - \dfrac{x}{2}\right)}\)
Ahora usamos el hecho de que \(h = CM + BM\) para escribir la ecuación
\(h = \dfrac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)} + \dfrac{r}{\tan\left(45 - \dfrac{x}{2}\right)}\)
\[ = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1}{\tan\left(45 - \frac{x}{2}\right)} \right] \]
Ahora usamos identidades trigonométricas para simplificar la ecuación anterior. La primera identidad que usaremos es
\[
\tan\left(45 - \frac{x}{2}\right) = \frac{\tan(45) - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan(45)\tan\left(\frac{x}{2}\right)}
\]
\[ = \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]
La fórmula para \(h\) ahora está dada por
\[
h = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \right]
\]
Ahora usamos la identidad \(\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}\) y otras identidades para reescribir \(h\) de la siguiente manera
\[ h = r \left[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right] \]
\[ = r \left[ \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) (\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right))} \right] \]
Ahora resolvemos la ecuación anterior para \(r\) para obtener
\[ r = h \sin\left(\frac{x}{2}\right) (\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)) = h (\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)) \]
Ahora usamos las identidades \(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \sin (x)\) y \(\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(x)\) para escribir \(r\) de la siguiente manera
\[ r = \frac{h}{2} (\sin(x) + \cos(x) - 1) \]
b) Ahora que hemos calculado \(r\) como una función de \(x\), y \(h\) se asume constante, encontremos la primera derivada de \(r\) con respecto a \(x\)
\[ \frac{dr}{dx} = \frac{h}{2} (\cos(x) - \sin(x)) \]
Encontremos un punto crítico para \(r\) resolviendo la ecuación \(\dfrac{dr}{dx} = 0\).
\[ \frac{h}{2} (\cos(x) - \sin(x)) = 0 \]
da
\[ \cos(x) - \sin(x) = 0 \] ya que \(h\) es constante y no igual a 0.
\[ \cos(x) = \sin(x) \]
Eleva al cuadrado ambos lados
\[ \cos^2(x) = \sin^2(x) \]
\[ \cos^2(x) = 1 - \cos^2(x) \]
Resuelve para \(\cos(x)\) para obtener
\[ \cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ o } - \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\(x\) es un ángulo agudo y por lo tanto la solución de nuestra ecuación está dada por
\[ x = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
La gráfica de \(\dfrac{dr}{dx}\) se muestra a continuación y \(\dfrac{dr}{dx}\) es positivo para \(x \lt \dfrac{\pi}{4}\) y negativo para \(x > \dfrac{\pi}{4}\), por lo tanto \(r\) tiene un máximo en \(x = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ\).
\(x = 45^\circ\) es el valor del ángulo \(ACB\) para el cual el radio \(r\) es máximo para un valor dado \(h\) de la longitud de la hipotenusa. Nótese que en este caso el triángulo ABC es isósceles.
Más referencias y enlaces
Problemas de cálculo