La primera derivada se utiliza para maximizar (optimizar) la potencia entregada a una carga en circuitos electrónicos.
En el circuito electrónico que se muestra abajo, el voltaje E (en Voltios) y la resistencia r (en Ohmios) son constantes. R es la resistencia de una carga. En dicho circuito, la corriente eléctrica i está dada por
y la potencia \(P\) entregada a la carga R está dada por
Siendo \(r\) y \(R\) positivas, determina R para que la potencia \(P\) entregada a \(R\) sea máxima.
Solución al Problema
Primero expresamos la potencia \(P\) en términos de \(E\), \(r\) y la variable \(R\) sustituyendo i = \(\dfrac{E}{(r + R)}\) en P = \(R i^2\).
\[ \text{P(R)} = \frac{R E^2}{(r + R)^2} \]Ahora diferenciamos \(P\) con respecto a la variable \(R\)
\[ \frac{dP}{dR} = \frac{E^2 [(r + R)^2 - R 2 (r + R)]}{[(r + R)^4]} = \frac{E^2 [(r + R) - 2 R]}{(r + R)^3} = \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} \]Para determinar si \(P\) tiene un máximo local, necesitamos encontrar los puntos críticos igualando \(\dfrac{dP}{dR} = 0\) y resolviendo para \(R\).
Dado que \(r\) y \(R\) son ambas positivas (resistencias), \(\dfrac{dP}{dR}\) tiene un solo punto crítico en \(R = r\). Además, para \(R \lt r\), \(\dfrac{dP}{dR}\) es positiva y \(P\) aumenta, y para \(R > r\), \(\dfrac{dP}{dR}\) es negativa y \(P\) disminuye. Por lo tanto, \(P\) tiene un valor máximo en \(R = r\). La potencia máxima se encuentra estableciendo \(R = r\) en \(P(R)\).
\[ \text{P(r)} = \frac{r E^2}{(r + r)^2} = \frac{E^2}{4r} \]Así que, para tener una transferencia de potencia máxima desde el circuito electrónico a la carga \(R\), la resistencia de \(R\) debe ser igual a \(r\).
Como ejemplo, la gráfica de \(P(R)\) para \(E = 5\) voltios y \(r = 100\) Ohmios se muestra abajo y claramente indica que \(P\) es máxima cuando \(R = 100\) Ohmios = \(r\).
Examinemos \(P(R)\) nuevamente. Si \(R\) se aproxima a cero, \(P(R)\) también se aproxima a cero. Si \(R\) aumenta indefinidamente, \(P(R)\) se aproxima a cero ya que la asíntota horizontal de la gráfica de \(P(R)\) es el eje horizontal. Por lo tanto, en algún punto con valor finito (que se encontró ser \(r\)), \(P(R)\) tiene un valor máximo.