La primera derivada se utiliza para maximizar (optimizar) la potencia entregada a una carga en circuitos electrónicos.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
En el circuito electrónico que se muestra a continuación, el voltaje \( E \) (en Voltios) y la resistencia \( r \) (en Ohmios) son constantes. \( R \) es la resistencia de una carga. En dicho circuito, la corriente eléctrica \( i \) está dada por:
\[ i = \dfrac{E}{r + R} \]y la potencia \( P \) entregada a la carga \( R \) está dada por:
\[ P = R i^2 \]Dado que \( r \) y \( R \) son positivos, determina \( R \) para que la potencia \( P \) entregada a \( R \) sea máxima.
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Primero expresamos la potencia \( P \) en términos de \( E \), \( r \) y la variable \( R \) sustituyendo \( i = \dfrac{E}{r + R} \) en \( P = R i^2 \):
\[ P(R) = \frac{R E^2}{(r + R)^2} \]Ahora derivamos \( P \) con respecto a la variable \( R \) utilizando la regla del cociente:
\[ \frac{dP}{dR} = \frac{E^2 \left[(r + R)^2 - R \cdot 2(r + R)\right]}{(r + R)^4} = \frac{E^2 \left[(r + R) - 2R\right]}{(r + R)^3} = \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} \]Para averiguar si \( P \) tiene un máximo local, hallamos los puntos críticos estableciendo \( \dfrac{dP}{dR} = 0 \) y resolviendo para \( R \):
\[ \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} = 0 \implies R = r \]Dado que \( r \) y \( R \) son ambos positivos (resistencias), \( \dfrac{dP}{dR} \) tiene un solo punto crítico en \( R = r \). Además, para \( R < r \), \( \dfrac{dP}{dR} \) es positivo y \( P \) aumenta; para \( R > r \), \( \dfrac{dP}{dR} \) es negativo y \( P \) disminuye. Por lo tanto, \( P \) tiene un valor máximo absoluto en \( R = r \).
La potencia máxima se encuentra sustituyendo \( R = r \) en \( P(R) \):
\[ P(r) = \frac{r E^2}{(r + r)^2} = \frac{r E^2}{(2r)^2} = \frac{r E^2}{4r^2} = \frac{E^2}{4r} \]Por lo tanto, para lograr la transferencia máxima de potencia del circuito electrónico a la carga \( R \), la resistencia de carga \( R \) debe ser igual a la resistencia interna \( r \).
Como ejemplo, a continuación se muestra la gráfica de \( P(R) \) para \( E = 5 \) voltios y \( r = 100 \) ohmios. Ilustra claramente que \( P \) se maximiza cuando \( R = 100 \) ohmios (\( R = r \)).
Examinemos \( P(R) \) más a fondo: si \( R \) se acerca a cero, \( P(R) \) se acerca a cero. Si \( R \) aumenta indefinidamente, \( P(R) \) se acerca a cero ya que el eje horizontal es una asíntota horizontal de la gráfica de \( P(R) \). Por lo tanto, \( P(R) \) alcanza un máximo en un valor finito de \( R = r \).