Cómo maximizar el volumen de una caja utilizando la primera derivada del volumen. Un problema de optimización de volumen con solución.
Una lámina de metal de 12 pulgadas por 10 pulgadas se utilizará para fabricar una caja abierta. Se cortan cuadrados de lados iguales \(x\) en cada esquina y luego se doblan los lados para formar la caja. Encuentra el valor de \(x\) que maximiza el volumen.
Solución al Problema 1:
Primero usamos la fórmula del volumen de una caja rectangular.
\(V = L \times A \times H\)
La caja a fabricar tiene las siguientes dimensiones:
\(L = 12 - 2x\)
\(A = 10 - 2x\) (usamos "A" para ancho, del inglés "width")
\(H = x\)
Ahora escribimos el volumen de la caja a fabricar de la siguiente manera:
\(V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(x^2 - 11x + 30)\)
Ahora determinamos el dominio de la función \(V(x)\). Todas las dimensiones de la caja deben ser positivas o cero, de ahí las condiciones:
\(x \geq 0\) y \(6 - x \geq 0\) y \(5 - x \geq 0\)
Resolvemos el sistema anterior de desigualdades para encontrar el dominio de la función \(V(x)\):
\(0 \leq x \leq 5\)
Ahora encontremos la primera derivada de \(V(x)\) usando su última expresión.
\(\dfrac{dV}{dx} = 4[3x^2 - 22x + 30]\)
Busquemos ahora todos los valores de \(x\) que hacen \(\frac{dV}{dx} = 0\) resolviendo la ecuación cuadrática:
\(3x^2 - 22x + 30 = 0\)
Dos valores hacen \(\frac{dV}{dx} = 0\):
\(x = 5.52\) y \(x = 1.81\), redondeados a un decimal.
\(x = 5.52\) está fuera del dominio y por lo tanto se rechaza.
Examinemos ahora los valores de \(V(x)\) en \(x = 1.81\) y en los extremos del dominio.
\(V(0) = 0\), \(V(5) = 0\) y \(V(1.81) = 96.77\) (redondeado a dos decimales)
Por lo tanto, \(V(x)\) es máximo para \(x \approx 1.81\) pulgadas. La gráfica de la función \(V(x)\) se muestra a continuación y podemos ver claramente que hay un máximo muy cerca de 1.8.
