Cómo maximizar el volumen de una caja utilizando la primera derivada del volumen. Un problema de optimización de volumen con solución.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
Una hoja de metal de 12 pulgadas por 10 pulgadas se va a utilizar para hacer una caja abierta. Se recortan cuadrados de lados iguales \( x \) de cada esquina, y luego se doblan los lados para hacer la caja. Halla el valor de \( x \) que hace que el volumen sea máximo.
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Primero utilizamos la fórmula para el volumen de una caja rectangular:
\[ V = L \times W \times H \]La caja que se va a construir tiene las siguientes dimensiones:
- \( L = 12 - 2x \)
- \( W = 10 - 2x \)
- \( H = x \)
Ahora escribimos el volumen de la caja como una función de \( x \):
\[ V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(6 - x)(5 - x) = 4x(x^2 - 11x + 30) = 4x^3 - 44x^2 + 120x \]Ahora determinamos el dominio de la función \( V(x) \). Todas las dimensiones de la caja deben ser no negativas:
\[ x \ge 0, \quad 12 - 2x \ge 0 \implies x \le 6, \quad 10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5 \]Resolver este sistema de inecuaciones da el dominio de \( V(x) \):
\[ 0 \le x \le 5 \]Ahora hallamos la primera derivada de \( V(x) \):
\[ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(4(3x^2 - 22x + 30)\right) = 4(3x^2 - 22x + 30) = 12x^2 - 88x + 120 \]Para hallar los puntos críticos, establecemos \( \dfrac{dV}{dx} = 0 \) resolviendo la ecuación cuadrática \( 3x^2 - 22x + 30 = 0 \):
\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(3)(30)}}{2(3)} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 360}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{124}}{6} \approx \frac{22 \pm 11.1355}{6} \]Esto produce dos soluciones:
\[ x_1 \approx \frac{33.1355}{6} \approx 5.52, \quad x_2 \approx \frac{10.8645}{6} \approx 1.81 \]El valor \( x \approx 5.52 \) está fuera del dominio \( [0, 5] \) y, por lo tanto, se rechaza. Así, el único punto crítico en el dominio es \( x \approx 1.81 \).
Ahora evaluamos \( V(x) \) en el punto crítico y en los extremos del dominio:
- \( V(0) = 0 \)
- \( V(5) = 0 \)
- \( V(1.81) \approx 4(1.81)(1.81^2 - 11(1.81) + 30) \approx 96.77 \) pulgadas cúbicas
Por lo tanto, \( V(x) \) alcanza su máximo cuando \( x \approx 1.81 \) pulgadas. A continuación se muestra la gráfica de la función \( V(x) \), que confirma el máximo cerca de \( x = 1.81 \).
