Minimizar la Distancia a Pie
Problema de Optimización
La primera derivada se utiliza para minimizar (optimizar) la distancia recorrida entre dos puntos.
Problema
El diagrama a continuación muestra la ruta que Wilson sigue cada mañana para llevar agua del río a su granja. Ayuda a Wilson a minimizar la distancia total recorrida desde su casa hasta la granja.
Solución al Problema
Dos métodos se sugieren para resolver este problema.
MÉTODO 1: En el diagrama a continuación encontramos las distancias \(d\) y \(D\), las sumamos y minimizamos la distancia total.
\[d = \sqrt{x^2 + 5^2}\]
\[D = \sqrt{(20 - x)^2 + 10^2}\]
La distancia total \(T\) está dada por:
\[T = d + D = \sqrt{x^2 + 5^2} + \sqrt{(20-x)^2 + 10^2}\]
Ahora necesitamos encontrar la primera derivada \(\dfrac{dT}{dx}\) de \(T\) con respecto a \(x\) y verificar que \(T\) tiene un valor mínimo, para luego encontrar el valor de \(x\) que minimiza \(T\).
\[\dfrac{dT}{dx} = \dfrac{x \sqrt{(x - 20)^2 + 100} + (x - 20) \sqrt{x^2 + 25}}{\sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(x - 20)^2 + 100}}\]
La gráfica de \(\dfrac{dT}{dx}\) se muestra a continuación. Aproximadamente en \(x = 6.6\), la primera derivada es igual a cero; por debajo de ese valor es negativa y por encima es positiva. Por lo tanto, \(T\) tiene un valor mínimo alrededor de \(x = 6.6\). Encontremos el valor exacto mediante cálculo.
El valor de \(x\) que minimiza \(T\) se encuentra igualando \(\dfrac{dT}{dx} = 0\) y resolviendo la ecuación obtenida. Esto se conoce como un valor crítico de la primera derivada. \(\dfrac{dT}{dx} = 0\) resulta en:
\[x \sqrt{(x - 20)^2 + 100} + (x - 20) \sqrt{x^2 + 25} = 0\]
que puede escribirse como:
\[x \sqrt{(x - 20)^2 + 100} = - (x - 20) \sqrt{x^2 + 25}\]
Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[x^2((x - 20)^2 + 100) = (x - 20)^2(x^2 + 25)\]
Expandimos y simplificamos para obtener la ecuación cuadrática:
\[3x^2 + 40x - 400 = 0\]
Resolvemos para \(x\) y seleccionamos el valor positivo:
\[x = \dfrac{20}{3} = 6.67 \text{ km}\] (aproximadamente)
MÉTODO 2: "Construimos una casa virtual" (proyección) \(H\) al otro lado del río. Para que la distancia \(d + D\) sea mínima, necesitamos que los puntos \(H\), \(O\) y \(F\) sean colineales, ya que la distancia más corta entre dos puntos es a lo largo de una línea recta. Para que estos puntos estén en la misma línea, el ángulo \(HOH'\) debe ser igual (en magnitud) al ángulo \(FOF'\) y la tangente de ambos ángulos debe ser igual. Por lo tanto:
Calculamos la tangente en términos de \(x\) para ambos ángulos de la siguiente manera:
\[\tan(HOH') = \dfrac{5}{x}\]
\[\tan(FOF') = \dfrac{10}{20 - x}\]
\[\dfrac{10}{20 - x} = \dfrac{5}{x}\]
Resolvemos para \(x\) para obtener:
\[x = \dfrac{20}{3} = 6.67 \text{ km}\] (aproximadamente)
Referencias y Enlaces
Problemas de cálculo