La primera derivada se utiliza para minimizar (optimizar) la distancia recorrida entre dos puntos.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
El diagrama de abajo muestra el camino que sigue Wilson cada mañana para llevar agua desde el río hasta su granja. Ayuda a Wilson a minimizar la distancia total recorrida desde su casa hasta la granja.
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Se sugieren dos métodos para resolver este problema a continuación.
MÉTODO 1: Cálculo (Primera derivada)
En el diagrama de abajo, hallamos las distancias \( d \) y \( D \), las sumamos y minimizamos la distancia total.
La distancia total \( T \) está dada por:
\[ T = d + D = \sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(20 - x)^2 + 100} \]Ahora hallamos la primera derivada \( \dfrac{dT}{dx} \) de \( T \) con respecto a \( x \), verificamos que \( T \) tenga un valor mínimo y hallamos el valor de \( x \) que minimiza \( T \):
\[ \frac{dT}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]A continuación se muestra la gráfica de \( \dfrac{dT}{dx} \). Aproximadamente en \( x = 6.67 \), la primera derivada es igual a cero; por debajo de ese valor es negativa, y por encima de ese valor es positiva. Por lo tanto, \( T \) tiene un valor mínimo alrededor de \( x = 6.67 \).
Estableciendo \( \dfrac{dT}{dx} = 0 \) para hallar el valor crítico:
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]Multiplicando en cruz:
\[ x \sqrt{(20 - x)^2 + 100} = (20 - x) \sqrt{x^2 + 25} \]Elevando al cuadrado ambos lados:
\[ x^2 \left((20 - x)^2 + 100\right) = (20 - x)^2 (x^2 + 25) \] \[ x^2(400 - 40x + x^2 + 100) = (400 - 40x + x^2)(x^2 + 25) \] \[ x^2(x^2 - 40x + 500) = (x^2 - 40x + 400)(x^2 + 25) \] \[ x^4 - 40x^3 + 500x^2 = x^4 + 25x^2 - 40x^3 - 1000x + 400x^2 + 10000 \] \[ 500x^2 = 425x^2 - 1000x + 10000 \implies 75x^2 + 1000x - 10000 = 0 \]Dividiendo la ecuación cuadrática por 25:
\[ 3x^2 + 40x - 400 = 0 \]Resolviendo para \( x \) utilizando la fórmula cuadrática y seleccionando el valor positivo:
\[ x = \frac{-40 + \sqrt{40^2 - 4(3)(-400)}}{2(3)} = \frac{-40 + \sqrt{1600 + 4800}}{6} = \frac{-40 + \sqrt{6400}}{6} = \frac{-40 + 80}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]MÉTODO 2: Proyección geométrica
Construimos una "casa virtual" (reflexión) \( H \) al otro lado del río. Para que la distancia total \( d + D \) sea mínima, los puntos \( H \), \( O \) y \( F \) deben ser colineales porque la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. Para que estos puntos sean colineales, los ángulos \( HOH' \) y \( FOF' \) deben ser de igual tamaño, lo que significa que sus tangentes son iguales.
Calculando las tangentes para ambos ángulos en términos de \( x \):
\[ \tan(HOH') = \frac{5}{x} \] \[ \tan(FOF') = \frac{10}{20 - x} \]Igualando las tangentes:
\[ \frac{5}{x} = \frac{10}{20 - x} \]Despejando \( x \):
\[ 5(20 - x) = 10x \implies 100 - 5x = 10x \implies 15x = 100 \implies x = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]