Se presenta un problema para minimizar (optimizar) el tiempo necesario para caminar de un punto a otro. Se desarrolla un método analítico, utilizando derivadas y otros conceptos y teoremas de cálculo, para hallar una solución analítica al problema.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
Decides caminar desde el punto A (ver figura abajo) hasta el punto C. Al sur del camino a través de BC, el terreno es difícil y solo puedes caminar a \( 3 \; \text{km/h} \). Sin embargo, a lo largo del camino BC puedes caminar a \( 5 \; \text{km/h} \). La distancia desde el punto A hasta el camino es de \( 5 \; \text{km} \). La distancia de B a C es de \( 10 \; \text{km} \). ¿Qué camino debes seguir para llegar al punto C en el menor (mínimo) tiempo posible?
Mostrar solución al problema
Supongamos que sigues el camino de A a P y de P a C a lo largo de líneas rectas. Sea la distancia BP igual a \( x \). Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos expresar las distancias AP y PC:
Ahora hallamos el tiempo \( t_1 \) para recorrer la distancia AP (\(\text{tiempo} = \text{distancia} / \text{velocidad}\)):
\[ t_1 = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} \]El tiempo \( t_2 \) para recorrer la distancia PC está dado por:
\[ t_2 = \frac{10 - x}{5} \]El tiempo total \( t \) se halla sumando \( t_1 \) y \( t_2 \):
\[ t(x) = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} + \frac{10 - x}{5} \]El dominio de la función \( t(x) \) es el intervalo cerrado \( [0, 10] \). Para valores de \( x \) fuera de este intervalo (donde el punto P está a la izquierda de B o a la derecha de C), el tiempo total aumentará.
Para hallar el valor de \( x \) que minimiza \( t \), calculamos la primera derivada \( \dfrac{dt}{dx} \):
\[ \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \frac{1}{5} \]Estableciendo \( \dfrac{dt}{dx} = 0 \) para hallar los puntos críticos:
\[ \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} = \frac{1}{5} \]Multiplicando en cruz:
\[ 5x = 3\sqrt{25 + x^2} \]Elevando al cuadrado ambos lados:
\[ (5x)^2 = 9(25 + x^2) \implies 25x^2 = 225 + 9x^2 \]Agrupando términos semejantes:
\[ 16x^2 = 225 \implies x^2 = \frac{225}{16} \]Resolviendo para \( x \) (\( x > 0 \)):
\[ x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3.75 \; \text{km} \]
La primera derivada \( \dfrac{dt}{dx} \) es negativa para \( x < 3.75 \), cero en \( x = 3.75 \) y positiva para \( x > 3.75 \). Evaluando \( t(x) \) en los extremos se obtiene \( t(0) \approx 3.6 \; \text{hrs} \) y \( t(10) \approx 3.7 \; \text{hrs} \), mientras que en \( x = 3.75 \), \( t(3.75) \approx 3.3 \; \text{hrs} \) (el mínimo).
Conclusión: Debes caminar hasta el punto P de modo que \( BP = 3.75 \; \text{km} \) y luego continuar por el camino hacia C para llegar en el menor tiempo posible.
Ejercicios
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Ejercicio 1: Resuelve el mismo problema anterior pero con los parámetros modificados que se muestran en el diagrama de abajo.
Figura 4. Diagrama para el ejercicio de práctica Mostrar solución al ejercicio 1
Siguiendo el mismo método analítico de derivadas con los parámetros del ejercicio:
\[ x = 6.26 \; \text{km} \quad (\text{redondeado a 2 cifras decimales}) \]