Usar Derivadas para resolver problemas: Optimización de Tiempo-Distancia
Se presenta un problema para minimizar (optimizar) el tiempo empleado en caminar de un punto a otro.
Se desarrolla un método analítico, utilizando derivadas y otros conceptos y teoremas del cálculo, con el fin de encontrar una solución analítica al problema.
Problema
Decides caminar desde el punto A (ver figura abajo) hasta el punto C. Al sur de la carretera a través de BC, el terreno es difícil y solo puedes caminar a \(3 \, \text{km/h}\). Sin embargo, por la carretera BC puedes caminar a \(5 \, \text{km/h}\). La distancia desde el punto A hasta la carretera es de \(5 \, \text{km}\). La distancia de B a C es de \(10 \, \text{km}\). ¿Qué ruta debes seguir para llegar al punto C en el menor tiempo posible?
Solución al Problema
Supongamos que sigues el camino de A a P y de P a C en línea recta.
Veamos ahora una solución usando derivadas y otros conceptos de cálculo. Sea la distancia BP igual a \(x\). Encontremos una fórmula para las distancias AP y PC. Usando el teorema de Pitágoras, podemos escribir:
distancia AP = \(\sqrt{5^2 + x^2}\)
distancia PC = \(10 - x\)
Ahora encontramos el tiempo \(t_1\) para caminar la distancia AP (tiempo = distancia / velocidad).
\(t_1 = \dfrac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3}\)
El tiempo \(t_2\) para caminar la distancia PC está dado por:
\(t_2 = \dfrac{10 - x}{5}\)
El tiempo total \(t\) se obtiene sumando \(t_1\) y \(t_2\).
\(t = \dfrac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} + \dfrac{10 - x}{5}\)
Podríamos considerar que el dominio de la función \(t\) son todos los valores de \(x\) en el intervalo cerrado \([0 , 10]\). Para valores de \(x\) tales que el punto \(P\) esté a la izquierda de \(B\) o a la derecha de \(C\), el tiempo \(t\) aumentará.
Para encontrar el valor de \(x\) que minimiza \(t\), necesitamos encontrar la primera derivada \(\dfrac{dt}{dx}\) (\(t\) es una función de \(x\)).
\(\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{\dfrac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \dfrac{1}{5}\)
Si \(t\) tiene un valor mínimo, ocurre en la \(x\) tal que \(\dfrac{dt}{dx} = 0\).
\(\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \dfrac{1}{5} = 0\)
Resuelve la ecuación anterior para \(x\). Reescribe la ecuación de la siguiente manera:
\(5x = 3\sqrt{5^2 + x^2}\)
Eleva al cuadrado ambos lados.
\(25x^2 = 9(5^2 + x^2)\)
Agrupa términos semejantes y simplifica.
\(16x^2 = 225\)
Resuelve para \(x\) (dado que \(x > 0\)).
\(x = \sqrt{\dfrac{225}{16}} = 3.75 \, \text{km}.\)
\(\dfrac{dt}{dx}\) tiene un solo cero. La tabla de signos de la primera derivada \(\dfrac{dt}{dx}\) se muestra a continuación.
La primera derivada \(\dfrac{dt}{dx}\) es negativa para \(x < 3.75\), igual a cero en \(x = 3.75\) y positiva para \(x > 3.75\). Además, los valores de \(t\) en \(x = 0\) y \(x = 10\) (los extremos del dominio de \(t\)) son respectivamente \(3.6 \, \text{horas}\) y \(3.7 \, \text{horas}\). El valor de \(t\) en \(x = 3.75\) es igual a \(3.3 \, \text{horas}\) y es el más pequeño. La respuesta a nuestro problema es que se debe caminar hasta el punto \(P\) tal que \(BP = 3.75 \, \text{km}\) y luego continuar por la carretera hasta \(C\) para llegar en el menor tiempo posible.
Ejercicios
1 - Resuelve el mismo problema que el anterior pero con los siguientes valores.
solución al ejercicio anterior
\(x = 6.26 \, \text{km}\) (redondeado a 2 decimales).
Referencias y Enlaces
Problemas de cálculo