Utiliza la primera derivada para hallar la ecuación de una función cuadrática dadas las líneas tangentes a la gráfica de esta función.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
a) Halla la ecuación de una función cuadrática cuya gráfica es tangente en \( x = 1 \) a la línea con pendiente 8, tangente en \( x = -2 \) a la línea con pendiente \(-4\), y tangente a la línea horizontal \( y = -8 \).
b) Halla las ecuaciones de las líneas tangentes en \( x = 1 \) y \( x = -2 \).
c) Grafica la función cuadrática obtenida y las 3 líneas tangentes en el mismo sistema de coordenadas y etiqueta las líneas tangentes y los puntos de tangencia.
Mostrar solución al problema
a) La pendiente de la tangente a la gráfica de una función \( f \) está dada por su primera derivada. Sea \( f \) la función cuadrática escrita en su forma estándar:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]La primera derivada de \( f \) es:
\[ f'(x) = 2ax + b \]Dado que la pendiente de la línea tangente es igual al valor de la derivada en el punto de tangencia, podemos plantear dos ecuaciones a partir de las líneas tangentes en \( x = 1 \) y \( x = -2 \):
\[ f'(1) = 2a(1) + b = 8 \] \[ f'(-2) = 2a(-2) + b = -4 \]Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales:
\[ 2a + b = 8 \] \[ -4a + b = -4 \]Restar la segunda ecuación de la primera da \( 6a = 12 \implies a = 2 \). Sustituyendo \( a = 2 \) en \( 2(2) + b = 8 \) se obtiene \( b = 4 \).
La tercera línea tangente \( y = -8 \) es horizontal, por lo que su pendiente es \( 0 \). Una línea horizontal es tangente a una parábola en su vértice. La coordenada \( x \) del vértice \( h \) se encuentra estableciendo \( f'(x) = 0 \):
\[ 2ah + b = 0 \implies h = -\frac{b}{2a} \]Sustituyendo \( a = 2 \) y \( b = 4 \):
\[ h = -\frac{4}{2(2)} = -1 \]La gráfica de la función cuadrática tiene su vértice en \( (-1, -8) \), lo que significa que \( f(-1) = -8 \):
\[ f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 2(1) + 4(-1) + c = -8 \] \[ 2 - 4 + c = -8 \implies -2 + c = -8 \implies c = -6 \]Por lo tanto, la función cuadrática \( f \) es:
\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 6 \]b) Ahora que tenemos la ecuación de la función cuadrática, hallamos las coordenadas \( y \) de los puntos de tangencia en \( x = 1 \) y \( x = -2 \):
- En \( x = 1 \): \( y = f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0 \text{ (punto } (1, 0) \text{)} \).
- En \( x = -2 \): \( y = f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = -6 \text{ (punto } (-2, -6) \text{)} \).
Utilizando la forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
- Tangente en \( x = 1 \) (pendiente \( m = 8 \), pasa por \( (1, 0) \)): \( y - 0 = 8(x - 1) \implies y = 8x - 8 \)
- Tangente en \( x = -2 \) (pendiente \( m = -4 \), pasa por \( (-2, -6) \)): \( y - (-6) = -4(x - (-2)) \implies y + 6 = -4(x + 2) \implies y = -4x - 14 \)
c) Gráficas de la función cuadrática y las 3 líneas tangentes:
