\(f(x) = ax^2 + bx + c\)
La primera derivada de \(f\) está dada por:
\(f'(x) = 2ax + b\)
Por la propiedad de la primera derivada, la pendiente de la recta tangente es igual al valor de la derivada en el punto de tangencia. Por lo tanto, podemos escribir dos ecuaciones relacionadas con las rectas tangentes en \(x = 1\) y \(x = -2\) de la siguiente manera:
\(f'(1) = 2a(1) + b = 8\)
\(f'(-2) = 2a(-2) + b = -4\)
Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para obtener:
\(a = 2\) y \(b = 4\)
La tercera tangente \(y = -8\) es una recta horizontal y su pendiente es igual a 0. Una recta horizontal es tangente a la gráfica de una función cuadrática, que es una parábola, en el vértice. Así que \(y = -8\) es la coordenada \(y\) del vértice. La coordenada \(x\) del vértice, denotada como \(h\), se encuentra resolviendo:
\(f'(x) = 2ah + b = 0\)
Lo que da:
\(h = -\frac{b}{2a}\)
Sustituye \(a\) y \(b\) por los valores encontrados anteriormente para hallar:
\(h = -\frac{4}{4} = -1\)
La gráfica de la función cuadrática tiene un vértice en (-1, -8) y por lo tanto:
\(f(-1) = a(-1)^2 + 4(-1) + c = -8\)
Resuelve la ecuación anterior para \(c\) y obtén:
\(c = -6\)
La función cuadrática \(f\) está dada por:
\(f(x) = 2x^2 + 4x - 6\)
b) Ahora que conocemos la ecuación de la función cuadrática, podemos encontrar las coordenadas \(y\) de los puntos de tangencia de las rectas tangentes en \(x = 1\) y \(x = -2\) de la siguiente manera:
en \(x = 1\), \(y = f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0\). La recta tangente en \(x = 1\) pasa por el punto \( (1,0) \).
en \(x = -2\), \(y = f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = -14\). La recta tangente en \(x = -2\) pasa por el punto \( (-2 , -14) \).
Para cada una de las dos tangentes, conocemos la pendiente y un punto, y por lo tanto podemos encontrar sus ecuaciones.
La ecuación de la tangente en \(x = 1\) tiene pendiente 8 y pasa por \( (1 , 0) \), y su ecuación es: \(y = 8x - 8\)
La ecuación de la tangente en \(x = -2\) tiene pendiente \( -4 \) y pasa por \( (-2 , -14) \), y su ecuación es: \(y = -4x - 14\)
c) Gráficas de la función cuadrática y las tres rectas tangentes.
