En cálculo, la integral de una función \( f(x) \) en un intervalo \( [a, b] \) se define como un límite de sumas de Riemann.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Sumas de Riemann
Dividamos el intervalo \( [a, b] \) en \( n \) subintervalos, cada uno de ancho \( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \). Luego podemos elegir un punto de muestra \( x_i \) en cada subintervalo \( [x_{i-1}, x_i] \) para \( i = 1, 2, \ldots, n \).
La suma de Riemann asociada con esta partición y elección de puntos de muestra está dada por:
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]La integral como un límite
El límite de la suma de Riemann, a medida que \( n \) tiende al infinito, se define como la integral definida de \( f(x) \) en \( [a, b] \), denotada por:
\[ \int_a^b f(x) \; dx = \lim_{n\to\infty} R_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]