Máximo y Mínimo Absoluto de una Función
Ejemplos de Cálculo Paso a Paso

Aprende a encontrar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función usando derivadas primeras, puntos críticos y evaluación en los extremos del intervalo. Esta guía incluye interpretaciones gráficas para ayudar a visualizar los conceptos.

Comprensión de los Extremos Absolutos

Definición: Los valores de \(x\) en el dominio de una función \(f\) donde \(f'(x) = 0\) o \(f'(x)\) no está definida se llaman puntos críticos de \(f\).

Teorema: Para una función continua en un intervalo cerrado \([a, b]\), existen valores \(x_1\) y \(x_2\) en \([a, b]\) tales que: \[ f(x_1) = \min f(x), \quad f(x_2) = \max f(x), \quad \text{para todo } x \in [a, b]. \]

Exploremos ejemplos que demuestran cómo los extremos absolutos pueden ocurrir en puntos críticos o en los extremos del intervalo.

Ejemplo 1: Extremos en Puntos Estacionarios

Cuando \(f'(x_0) = 0\) y el signo de \(f'(x)\) cambia, \(x_0\) puede corresponder a un máximo o mínimo local (y posiblemente absoluto).

Ejemplo 2: Extremos Donde la Derivada no está Definida

Los extremos pueden ocurrir donde la derivada no existe.

Ejemplo 3: Extremos en los Extremos del Intervalo

Considera \(f(x) = x^3 - 2x^2\) en \([-1, 5/2]\). Existen extremos locales, pero los extremos absolutos ocurren en los extremos del intervalo:

Pasos Generales para Encontrar Extremos Absolutos

1. Encuentra la primera derivada \(f'(x)\).
2. Determina los puntos críticos (donde \(f'(x) = 0\) o no está definida).
3. Evalúa \(f(x)\) en todos los puntos críticos y en los extremos del intervalo.
4. El valor más grande es el máximo absoluto, y el más pequeño es el mínimo absoluto.

Ejemplo 4: Extremos Absolutos de una Función Cuadrática

Solución al Ejemplo 4

Paso 1: Calcula la Primera Derivada
Para encontrar el máximo y mínimo absolutos de la función, comenzamos calculando la primera derivada de \( f(x) = -x^2 + 2x - 2 \):
\[ f'(x) = -2x + 2 \]

Paso 2: Determina los Puntos Críticos
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
\[ -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Dado que la primera derivada está definida para todo \( x \) en el intervalo \([-2, 3]\), y \( x = 1 \) se encuentra dentro de ese intervalo, es un punto crítico válido.

Paso 3: Evalúa la Función en los Extremos y en el Punto Crítico
Ahora evaluamos la función original en los extremos y en el punto crítico \( x = 1 \):
\[ f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -4 - 4 - 2 = -10 \]
\[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \]
\[ f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 2 = -9 + 6 - 2 = -5 \]

Conclusión:
- El valor máximo absoluto es \( f(1) = -1 \), que ocurre en \( x = 1 \).
- El valor mínimo absoluto es \( f(-2) = -10 \), que ocurre en \( x = -2 \).

La gráfica a continuación ilustra la función, mostrando el punto crítico y los extremos del intervalo, y resaltando los valores mínimo y máximo absolutos:

Ejemplo 5: Encontrar Extremos Absolutos de una Función Polinómica en un Intervalo Cerrado

Determina los valores máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \) en el intervalo cerrado \( [-1, 1] \).

Solución al Ejemplo 5

Paso 1: Calcula la Primera Derivada

Deriva la función para encontrar sus puntos críticos:

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

Paso 2: Encuentra los Puntos Críticos Resolviendo \( f'(x) = 0 \)

Iguala la derivada a cero:

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

Las soluciones son \( x = 0 \), \( x = 1 \), y \( x = -2 \). Sin embargo, solo \( x = 0 \) y \( x = 1 \) se encuentran dentro del intervalo \( [-1, 1] \).

Así que los puntos críticos en el dominio son \( x = 0 \) y \( x = 1 \).

Paso 3: Evalúa la Función en los Extremos y Puntos Críticos

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

Paso 4: Identifica el Máximo y Mínimo Absolutos

• Valor máximo absoluto: \( f(0) = 0 \) en \( x = 0 \)
• Valor mínimo absoluto: \( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \) en \( x = -1 \)

La gráfica de la función \( f(x) \) se muestra a continuación, ilustrando los puntos críticos, los extremos del intervalo y las ubicaciones del máximo y mínimo absolutos.

Ejemplo 6: Encontrar el Máximo y Mínimo Absolutos de una Función que Involucra Logaritmos

Encuentra los valores máximo y mínimo absolutos de la función \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \) en el intervalo cerrado \( [0.5 , 2] \).

Solución al Ejemplo 6

Paso 1: Calcula la Primera Derivada

Derivamos usando la regla del producto: \[ f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \] \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \]

Paso 2: Encuentra los Puntos Críticos

Igualamos la primera derivada a cero: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x = x(2 \ln(x) + 1) = 0 \] Resolvemos:

• \( x = 0 \) (excluido ya que no está en el dominio)
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Solo \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) se encuentra dentro del intervalo \( [0.5 , 2] \), por lo que es el único punto crítico en el dominio.

Paso 3: Evalúa la Función en los Extremos y en el Punto Crítico

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

Respuesta Final

• Valor máximo absoluto: \( \boxed{1.772} \) en \( x = 2 \)
• Valor mínimo absoluto: \( \boxed{-1.1839} \) en \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Ejemplo 7: Máximo y Mínimo Absolutos de una Función con Valor Absoluto

Encuentra los valores máximo y mínimo absolutos de la función \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) en el intervalo cerrado \([-1.1 , 4]\).

Solución al Ejemplo 7

Paso 1: Reescribe y Deriva la Función

Usa la identidad \( |u| = \sqrt{u^2} \) para reescribir la función:

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

Ahora deriva:

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

Paso 2: Encuentra los Puntos Críticos

La derivada no está definida cuando el denominador es cero:

Iguala \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) ⇒ \( (x+1)(x-3) = 0 \) ⇒ \( x = -1 \) y \( x = 3 \)

Para encontrar dónde \( f'(x) = 0 \), resuelve:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     (Ecuación 1)

Caso 1: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

Entonces \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \), y la Ecuación 1 se convierte en:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

Soluciones: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

Caso 2: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

Entonces \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \), y la Ecuación 1 se convierte en:

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

Soluciones: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

Verifica los Puntos Críticos

• \( x = -1 \), \( x = 3 \): Derivada no definida — puntos críticos.
• \( x = \dfrac{1}{2} \): Sustituye en el numerador ⇒ resultado es 0 ⇒ punto crítico válido.
• \( x = \dfrac{3}{2} \): Sustituye en el numerador ⇒ no es 0 ⇒ no es un punto crítico.

Conclusión: Los puntos críticos de \( f(x) \) son: \( x = -1 \), \( x = \dfrac{1}{2} \), y \( x = 3 \).

Paso 3: Evalúa \( f(x) \) en los Extremos y Puntos Críticos

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

Respuesta Final:

• Máximo Absoluto: \( f(x) = 3.25 \) en \( x = \dfrac{1}{2} \)
• Mínimo Absoluto: \( f(x) = -3 \) en \( x = 3 \)

Gráfica de la Función

La gráfica de \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) a continuación muestra los puntos críticos y los extremos del intervalo \([-1.1 , 4]\), junto con los valores máximo y mínimo absolutos.

Ejemplo 8: Extremos Absolutos de Funciones con Potencia Racional

Encuentra el máximo y mínimo absolutos de la función \( f \) definida por \[ f(x) = (x-2)^{2/5} \;\; \text{en} \;\; [-3 , 4] \].

Solución al Ejemplo 8

Paso 1: Calcula la primera derivada de la función
Dada la función:
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

La primera derivada es:
\[ f'(x) = \dfrac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x - 2)^{3/5}} \]

Paso 2: Identifica los puntos críticos
La derivada \( f'(x) \) no tiene ceros porque el numerador es constante.
Sin embargo, la derivada no está definida cuando el denominador es cero, es decir, cuando \( x = 2 \).
Por lo tanto, \( x = 2 \) es un punto crítico porque la derivada no está definida en ese punto.

Paso 3: Evalúa f(x) en los extremos y en el punto crítico
Calcula los valores de la función en los puntos clave dentro del intervalo \([-3, 4]\):

\[ f(-3) = ((-3) - 2)^{2/5} = (-5)^{2/5} \approx 1.90 \]
\[ f(4) = (4 - 2)^{2/5} = 2^{2/5} \approx 1.32 \]
\[ f(2) = (2 - 2)^{2/5} = 0^{2/5} = 0 \]

Paso 4: Determina el máximo y mínimo absolutos
De las evaluaciones anteriores:

• Mínimo absoluto: 0 en \( x = 2 \)
• Máximo absoluto: aproximadamente 1.90 en \( x = -3 \)

Representación Gráfica:
La gráfica de \( f(x) = (x - 2)^{2/5} \) en el intervalo \([-3, 4]\) confirma el punto crítico en \( x = 2 \), así como los valores mínimo y máximo absolutos.

Más Referencias y Enlaces