¿Qué es la concavidad de las funciones cuadráticas?
Este tutorial explica cómo determinar la concavidad de
las funciones cuadráticas.
Concavidad de funciones cuadráticas
La concavidad de una función se determina por el signo de su segunda derivada.
Para una función cuadrática de la forma
\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]
La primera y segunda derivada son
\[ f'(x) = 2 a x + b \]
\[ f''(x) = 2 a \]
Dado que \( f''(x) \) es constante y depende únicamente de \( a \), la concavidad de la parábola depende del signo de \( a \):
- Si \( a > 0 \), entonces \( f''(x) > 0 \) y la gráfica es cóncava hacia arriba.
- Si \( a \lt 0 \), entonces \( f''(x) \lt 0 \) y la gráfica es cóncava hacia abajo.
A continuación se muestran ejemplos que ilustran estos casos con soluciones detalladas.
Ejemplo 1
Determina la concavidad de la función cuadrática:
\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]
Solución al Ejemplo 1
Primero, expande y reescribe \( f(x) \):
\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]
El coeficiente principal \( a = -1 \) es negativo, por lo tanto la gráfica es cóncava hacia abajo. Ver la figura a continuación.
Ejemplo 2
Determina la concavidad de la función cuadrática:
\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]
Solución al Ejemplo 2
Expande \( f(x) \):
\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]
El coeficiente principal \( a = 1 \) es positivo, por lo tanto la gráfica es cóncava hacia arriba. Ver la figura a continuación.
Ejercicios con respuestas
Determina la concavidad de cada función cuadrática a continuación:
- \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
- \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
- \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)
Respuestas a los ejercicios
- Cóncava hacia arriba
- Cóncava hacia abajo
- Cóncava hacia abajo
Prueba otro tutorial interactivo sobre la concavidad de funciones cuadráticas disponible en este sitio.
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