Ejemplo 1
Encuentra la aproximación lineal de \( f(x) = \tan x \) para \( x \) cercano a 0.
Solución
Primero, calcula la derivada:
\[
f'(x) = \sec^2 x
\]
Evalúa en \( x=0 \):
\[
f'(0) = \sec^2(0) = 1
\]
Por lo tanto, la aproximación lineal \( f_l(x) \) en \( x=0 \) es:
\[
f_l(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x
\]
Esto significa que \(\tan x \approx x\) para \( x \) cercano a 0, donde \( x \) se mide en radianes.
Intenta calcular \(\tan x\) y compáralo con \(x\) para los valores:
\[
x = 0, 0.001, 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5
\]
Usa tu calculadora configurada en modo radianes y observa la aproximación.
Ejemplo 2
Encuentra la aproximación lineal de \( f(x) = \ln x \) para \( x \) cercano a 1.
Solución
Calcula la derivada:
\[
f'(x) = \dfrac{1}{x}
\]
Evalúa en \( x=1 \):
\[
f'(1) = 1
\]
La aproximación lineal \( f_l(x) \) en \( x=1 \) es:
\[
f_l(x) = \ln 1 + 1 \cdot (x - 1) = 0 + (x - 1) = x - 1
\]
Por lo tanto,
\[
\ln x \approx x - 1
\]
para \( x \) cerca de 1.
Compara \(\ln x\) y \(x - 1\) para los valores:
\[
x = 1, 1.001, 1.01, 1.1, 1.5
\]
usando tu calculadora.
Ejemplo 3
Encuentra la aproximación lineal de \( f(x) = e^x \) para \( x \) cercano a 0.
Solución
La derivada es:
\[
f'(x) = e^x
\]
Evalúa en \( x=0 \):
\[
f'(0) = 1
\]
La aproximación lineal \( f_l(x) \) en \( x=0 \) es:
\[
f_l(x) = e^0 + 1 \cdot (x - 0) = 1 + x
\]
Compara \( e^x \) y \( 1 + x \) para los valores:
\[
x = 0, 0.001, 0.01, 0.1, 0.5
\]
usando tu calculadora.
