Derivada, Máximo y Mínimo de Funciones Cuadráticas

La diferenciación se utiliza para analizar propiedades clave de las funciones cuadráticas, como los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos locales y los mínimos locales.

A - Función Cuadrática en Forma General

Las funciones cuadráticas en su forma general se escriben como:

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales con \(a \neq 0\).

La primera derivada de \(f\) es:

Para determinar los puntos máximos o mínimos y los intervalos de crecimiento o decrecimiento, se analiza el signo de \(f'(x)\). La derivada es positiva si:

Consideramos dos casos según el signo de \(a\):

Caso 1: \(a > 0\)

Dividiendo ambos lados de la desigualdad por \(2a > 0\), obtenemos:

La siguiente tabla resume el signo de \(f'(x)\) y si \(f\) es creciente o decreciente:

Por lo tanto, la función cuadrática tiene un mínimo en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), decrece en \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\), y crece en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).

Caso 2: \(a < 0\)

Al dividir ambos lados por \(2a < 0\) se invierte la desigualdad:

El signo de \(f'(x)\) se analiza mediante la siguiente tabla:

En este caso, la función cuadrática tiene un máximo en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), crece en \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\), y decrece en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).

B - Función Cuadrática en Forma Canónica (Vértice)

Las funciones cuadráticas en forma canónica (vértice) se escriben como:

donde \(a \neq 0\), y \(h, k\) son números reales.

La derivada es:

Analizamos el signo de \(f'(x)\) considerando:

Caso 1: \(a > 0\)

Dividiendo ambos lados por \(a > 0\):

Utiliza la siguiente tabla para analizar el signo:

Por lo tanto, la cuadrática tiene un mínimo en \((h, k)\), decrece en \((-\infty, h)\), y crece en \((h, +\infty)\).

Caso 2: \(a < 0\)

Dividiendo ambos lados por \(a < 0\) se invierte la desigualdad:

El signo de \(f'(x)\) se analiza usando:

Aquí, la cuadrática tiene un máximo en \((h, k)\), crece en \((-\infty, h)\), y decrece en \((h, +\infty)\).

Ejemplo 1

Encuentra el extremo (mínimo o máximo) de la función cuadrática:

Solución al Ejemplo 1

• Primero, halla la derivada: \[ f'(x) = 4x - 8 \] La derivada cambia de signo en \(x = \dfrac{8}{4} = 2\). Dado que \(a=2 > 0\), \(f\) tiene un mínimo en \((2, f(2)) = (2, -7)\).
• Comportamiento de la función:
  • Decreciente en \((-\infty, 2)\)
  • Creciente en \((2, +\infty)\)
• Observa la gráfica a continuación que confirma este resultado:

Ejemplo 2

Encuentra el extremo de la función cuadrática:

Solución al Ejemplo 2

• La derivada es: \[ f'(x) = -2(x + 3) \] La derivada cambia de signo en \(x = -3\). Dado que \(a = -1 < 0\), \(f\) tiene un máximo en \((-3, 1)\).
• Comportamiento de la función:
  • Creciente en \((-\infty, -3)\)
  • Decreciente en \((-3, +\infty)\)
• Observa la gráfica a continuación:

Ejercicios sobre Propiedades de Funciones Cuadráticas

Para cada función cuadrática a continuación, encuentra el extremo (mínimo o máximo), el intervalo de crecimiento y el intervalo de decrecimiento:

1. \( f(x) = x^2 + 6x \)
2. \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \)
3. \( f(x) = x^2 - 5 \)
4. \( f(x) = -(x - 4)^2 + 2 \)
5. \( f(x) = -x^2 \)

Respuestas a los Ejercicios

• a) Mínimo en \((-3, -9)\). Decreciente en \((-\infty, -3)\), creciente en \((-3, +\infty)\).
• b) Máximo en \((-1, 4)\). Creciente en \((-\infty, -1)\), decreciente en \((-1, +\infty)\).
• c) Mínimo en \((0, -5)\). Decreciente en \((-\infty, 0)\), creciente en \((0, +\infty)\).
• d) Máximo en \((4, 2)\). Creciente en \((-\infty, 4)\), decreciente en \((4, +\infty)\).
• e) Máximo en \((0, 0)\). Creciente en \((-\infty, 0)\), decreciente en \((0, +\infty)\).

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