Esta página contiene una colección de problemas de optimización de Cálculo 1 con enunciados del mundo real y soluciones completas paso a paso. Los temas incluyen área máxima, distancia mínima, maximización de ganancias, volumen de cajas, rectángulos bajo curvas y optimización de conos usando derivadas.
Encuentra dos números positivos tales que su producto sea igual a 10 y su suma sea lo más pequeña posible. Verifica tu respuesta gráficamente.
Sea \( x \) el primer número e \( y \) el segundo número, donde ambos \( x > 0 \) e \( y > 0 \). Sea \( S \) la suma a minimizar.
De la restricción, despeja \( y \):
\( y = \dfrac{10}{x} \)
Sustituye en la función suma para obtener una función de una variable:
\[
S(x) = x + \dfrac{10}{x} = \dfrac{x^2 + 10}{x}
\quad \text{con dominio} \quad x > 0
\]
Función de optimización en una variable
Calcula la primera derivada de \( S(x) \): \[ S'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(x + \dfrac{10}{x}\right) = 1 - \dfrac{10}{x^2} \]
Iguala la derivada a cero para encontrar puntos críticos: \[ 1 - \dfrac{10}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{10} \]
Descartamos \( x = -\sqrt{10} \) porque \( x \) debe ser positivo. Así que \( x = \sqrt{10} \) es un punto crítico.
Verifica la segunda derivada para determinar la concavidad: \[ S''(x) = \dfrac{20}{x^3} \] Como \( x > 0 \), \( S''(x) > 0 \), entonces la gráfica es cóncava hacia arriba. Por lo tanto, \( x = \sqrt{10} \) es un mínimo.
Los dos números son: \[ x = \sqrt{10} \approx 3.16, \quad y = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \]
La gráfica de \( S(x) = x + \dfrac{10}{x} \) muestra un valor mínimo en \( x \approx 3.16 \), confirmando el resultado.
Encuentra dos números positivos tales que la suma de seis veces el primero y dos veces el segundo sea igual a 150, y su producto sea lo más grande posible.
Sea \( x \) el primer número e \( y \) el segundo número. Sea \( P \) el producto a maximizar.
La función objetivo es:
\[ P = x \cdot y \]
La restricción es:
\[ 6x + 2y = 150 \]
Despeja \( y \) de la restricción:
\[ y = 75 - 3x \]
Sustituye en la función producto:
\[ P(x) = x(75 - 3x) = 75x - 3x^2 \]
Calcula la primera derivada:
\[ P'(x) = 75 - 6x \]
Iguala la derivada a cero para encontrar puntos críticos:
\[ 75 - 6x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{75}{6} = \dfrac{25}{2} \]
Calcula la segunda derivada para determinar la concavidad:
\[ P''(x) = -6 \]
Como \( P''(x) < 0 \), la función es cóncava hacia abajo, confirmando que \( x = \dfrac{25}{2} \) da un máximo.
Ahora encuentra \( y \):
\[ y = 75 - 3x = 75 - 3 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{75}{2} \]
Conclusión: Los dos números positivos que maximizan el producto bajo la restricción son:
Supón que debes cercar dos campos rectangulares con las mismas dimensiones, con un lado en común, usando 180 metros de cerca. Encuentra las dimensiones de los rectángulos para que el área total cercada sea máxima.
Sea \( L \) el largo y \( W \) el ancho de cada rectángulo. El ancho es el lado compartido.
Área total: \( A = 2LW \)
Restricción de la cerca: \( 4L + 3W = 180 \).
Despeja \( W \): \( W = 60 - \dfrac{4}{3}L \).
Área como función de \( L \):
\[ A(L) = 2L \left(60 - \dfrac{4}{3}L \right) = -\dfrac{8}{3}L^2 + 120L \]
De la gráfica de \( 4L + 3W = 180 \), el dominio es \( L \in [0, 45] \).
Derivada: \( A'(L) = -\dfrac{16}{3}L + 120 \).
Resuelve \( A'(L) = 0 \Rightarrow L = 22.5 \).
Evalúa:
Un alambre de 100 cm de largo se corta en dos piezas. Una pieza se dobla para formar un cuadrado, y la otra se dobla para formar un círculo. Encuentra las longitudes de las dos piezas para que la suma de las áreas encerradas por el cuadrado y el círculo sea mínima.
Sean:
Como el alambre total es 100 cm, tenemos: \[ x + y = 100 \]
Sea \( A \) el área total encerrada.
Para el cuadrado: \[ x = 4s \Rightarrow s = \dfrac{x}{4} \] \[ A_{\text{cuadrado}} = s^2 = \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 = \dfrac{x^2}{16} \]
Para el círculo: \[ y = 2\pi r \Rightarrow r = \dfrac{y}{2\pi} \] \[ A_{\text{círculo}} = \pi r^2 = \pi \left( \dfrac{y}{2\pi} \right)^2 = \dfrac{y^2}{4\pi} \]
Área total: \[ A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi} \]
Toma la derivada: \[ A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \]
Iguala la derivada a 0: \[ \dfrac{x}{8} = \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \] Multiplica ambos lados por \( 8 \cdot 2\pi \): \[ 2\pi x = 8(100 - x) \] \[ 2\pi x + 8x = 800 \Rightarrow x(2\pi + 8) = 800 \Rightarrow x = \dfrac{800}{2\pi + 8} = \dfrac{400}{\pi + 4} \]
Aproximando: \[ x \approx \dfrac{400}{7.14} \approx 56 \text{ cm} \] \[ y = 100 - x \approx 44 \text{ cm} \]
Evalúa el área en los extremos y el punto crítico: \[ A(0) = \dfrac{0^2}{16} + \dfrac{100^2}{4\pi} \approx 795 \] \[ A(100) = \dfrac{100^2}{16} + \dfrac{0^2}{4\pi} = 625 \] \[ A(56) \approx \dfrac{56^2}{16} + \dfrac{(44)^2}{4\pi} \approx 350 \]
Se va a construir una caja con extremos cuadrados de lado \( x \) y una longitud \( L \) tal que \( L + 4x = 4 \) metros. Encuentra las dimensiones de la caja que maximizan su volumen.
El área de un extremo cuadrado es \( x^2 \).
El volumen \( V \) de la caja es:
\[ V = x^2 L \]
De la restricción \( L + 4x = 4 \), despeja \( L \):
\[ L = 4 - 4x \]
Sustituye en la expresión del volumen:
\[ V(x) = x^2(4 - 4x) \]
Para determinar el dominio de \( V(x) \):
El valor más pequeño de \( x \) es \( 0 \). El valor más grande ocurre cuando \( L = 0 \), lo que da \( x = 1 \).
Entonces, el dominio es \( x \in [0, 1] \).
Deriva \( V(x) \):
\[ V'(x) = 8x - 12x^2 \]
Encuentra los puntos críticos resolviendo:
\[ 8x - 12x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x(8 - 12x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ o } x = \dfrac{2}{3} \]
Evalúa el volumen en los extremos y el punto crítico:
El volumen se maximiza en \( x = \dfrac{2}{3} \) metros.
Ahora sustituye \( x = \dfrac{2}{3} \) en la restricción para encontrar \( L \):
\[ L = 4 - 4 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \text{ metros} \]
Respuesta Final:
La caja tiene extremos cuadrados de lado \( \dfrac{2}{3} \) metros y longitud \( \dfrac{4}{3} \) metros, lo que da el volumen máximo de \( \dfrac{16}{27} \text{ m}^3 \).
El costo total, incluyendo fabricación, empaque y distribución, de una calculadora electrónica es $21. Si la máquina se vende a un precio de \( x \) dólares cada una, el número \( n \) de máquinas vendidas está dado por:
\[ n(x) = \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \]
Sea \( R_t \) el ingreso total por vender \( n \) calculadoras: \[ R_t = n \cdot x \]
Sea \( C_t \) el costo total de fabricación, empaque y distribución: \[ C_t = 21 \cdot n \]
Entonces, la función de ganancia es: \[ P(x) = R_t - C_t = n(x - 21) \]
Sustituye la expresión para \( n \): \[ P(x) = \left( \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \right)(x - 21) \]
Simplifica: \[ P(x) = 200 + 10(50 - x)(x - 21) \] \[ P(x) = -10x^2 + 710x - 10300 \]
Dominio de la función de ganancia:
Dado que el precio de venta debe ser mayor que el precio de costo, tomamos
\[
x > 21
\]
y no hay un límite superior estricto, por lo que el dominio es
\[
x \in (21, \infty)
\]
Deriva \( P(x) \) con respecto a \( x \): \[ P'(x) = -20x + 710 \]
Iguala la derivada a cero: \[ -20x + 710 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 35.5 \]
Calcula la segunda derivada: \[ P''(x) = -20 \] Como \( P''(x) \lt 0 \), la gráfica es cóncava hacia abajo, confirmando que la ganancia tiene un máximo en: \[ x = 35.5 \]
El precio de venta que maximiza la ganancia es: \[ \boxed{x = 35.5 \text{ dólares}} \]
Queremos encontrar las dimensiones del rectángulo con la mayor área que se pueda inscribir bajo la curva \[ y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \] y sobre el eje x.
Sea \(x\) la mitad de la longitud de la base del rectángulo. El vértice superior derecho del rectángulo se encuentra sobre la curva, por lo que su coordenada y es \[ y = \dfrac{1}{x^2 + 1}. \]
El área del rectángulo es, por lo tanto: \[ A(x) = 2x \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1}. \]
El dominio de \(A(x)\) es: \[ x \in [0, \infty). \]
Deriva \(A(x)\): \[ A'(x) = \dfrac{2(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2}. \]
Iguala la derivada a cero: \[ 1 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1. \] Como \(x \geq 0\), tomamos \(x = 1\).
Calcula la segunda derivada: \[ A''(x) = -\dfrac{4x(-x^2+3)}{(x^2+1)^3}. \] En \(x = 1\): \[ A''(1) = -1 \lt 0, \] por lo que la función es cóncava hacia abajo, confirmando un máximo.
El rectángulo con la mayor área tiene dimensiones: \[ \text{Largo} = 2x = 2(1) = 2, \quad \text{Ancho} = \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2}. \]
Por lo tanto, el rectángulo de área máxima mide 2 unidades por 0.5 unidades.
Encuentra las dimensiones del rectángulo con la mayor área que se pueda inscribir en un triángulo rectángulo con altura 4 e hipotenusa 5.
Un diagrama es útil para visualizar el problema.
Sea el rectángulo con ancho \( w \) y alto \( h \). Su área es \[ A = h \cdot w. \]
Usando el teorema de Pitágoras, la base \( BC \) del triángulo rectángulo es \[ BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3. \]
Los triángulos \( AEF \) y \( ABC \) son semejantes, por lo que las razones de los lados correspondientes satisfacen \[ \dfrac{AE}{EF} = \dfrac{AB}{BC}. \] Aquí, \[ AE = 4 - h, \quad EF = w, \quad AB = 4, \quad BC = 3. \] Sustituyendo, obtenemos \[ \dfrac{4 - h}{w} = \dfrac{4}{3} \implies h = -\dfrac{4}{3} w + 4. \]
Sustituye \( h \) en la fórmula del área: \[ A(w) = \left(-\dfrac{4}{3} w + 4\right) w = -\dfrac{4}{3} w^2 + 4w. \]
El dominio de \( A \) es \[ w \in [0, 3]. \]
Calcula la primera derivada de \( A \): \[ A'(w) = -\dfrac{8}{3} w + 4. \]
Iguala la derivada a cero para encontrar puntos críticos: \[ -\dfrac{8}{3} w + 4 = 0 \implies w = \dfrac{3}{2} = 1.5. \]
Evalúa el área en el punto crítico y los extremos: \[ A\left(\dfrac{3}{2}\right) = 3, \quad A(0) = 0, \quad A(3) = 0. \]
El rectángulo con la mayor área tiene dimensiones: \[ w = \dfrac{3}{2} = 1.5, \quad h = -\dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{2} + 4 = 2. \]
Demuestra analíticamente que la función \[ f(x) = -5 - 4 \cos(x) + \cos(2x), \quad \text{para} \quad 0 \leq x \leq 2\pi, \] nunca es positiva.
Para probar que \( f(x) \) nunca es positiva, mostramos que su valor máximo en \( [0, 2\pi] \) es menor o igual a cero.
Calcula la primera derivada: \[ f'(x) = 4 \sin(x) - 2 \sin(2x). \] Usando la identidad \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), reescribe: \[ f'(x) = 4 \sin(x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 4 \sin(x) (1 - \cos(x)). \]
Iguala la derivada a cero para encontrar puntos críticos: \[ 4 \sin(x) (1 - \cos(x)) = 0. \] Esto implica \[ \sin(x) = 0 \quad \text{o} \quad \cos(x) = 1. \]
Las soluciones dentro de \( [0, 2\pi] \) son: \[ \sin(x) = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi, \] \[ \cos(x) = 1 \implies x = 0, 2\pi. \]
Evalúa \( f(x) \) en estos puntos: \[ f(0) = -5 - 4 \cos(0) + \cos(0) = -5 - 4(1) + 1 = -8, \] \[ f(2\pi) = -5 - 4 \cos(2\pi) + \cos(4\pi) = -5 - 4(1) + 1 = -8, \] \[ f(\pi) = -5 - 4 \cos(\pi) + \cos(2\pi) = -5 - 4(-1) + 1 = 0. \]
Dado que el valor máximo de \( f(x) \) en \( [0, 2\pi] \) es \( 0 \), la función \( f(x) \) nunca es positiva en el intervalo.
Encuentra el radio \( r \) de la base de un cono y su altura \( h \) tales que la altura de inclinación sea \( 5 \) cm y el volumen sea máximo.
El volumen de un cono con radio \( r \) y altura \( h \) es
\[
V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h.
\]
Usando el teorema de Pitágoras para la altura de inclinación,
\[
h^2 + r^2 = 5^2 = 25,
\]
entonces
\[
h = \sqrt{25 - r^2}.
\]
Sustituye \( h \) en la fórmula del volumen:
\[
V(r) = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{25 - r^2}.
\]
El dominio es
\[
r \in [0, 5].
\]
Calcula la primera derivada \( V'(r) \): \[ V'(r) = \dfrac{\pi}{3} \left( 2r \sqrt{25 - r^2} + r^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (-2r) (25 - r^2)^{-1/2} \right) = \dfrac{\pi}{3} \dfrac{50r - 3r^3}{\sqrt{25 - r^2}}. \] Iguala el numerador a cero para encontrar puntos críticos: \[ 50 r - 3 r^3 = 0 \implies r (50 - 3 r^2) = 0. \] Los puntos críticos son \[ r = 0, \quad r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4.08, \quad r = -\sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx -4.08. \] Excluye \( r = -4.08 \) ya que no está en el dominio.
Observa que \( r = 5 \) hace que el denominador sea cero, por lo que \( V'(r) \) no está definida allí, pero aún considera \( r = 5 \) como extremo.
Evalúa \( V \) en los puntos críticos y extremos: \[ V\left(\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) = \dfrac{1}{3} \pi \left(\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right)^2 \sqrt{25 - \left(\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right)^2} \approx 50.38, \] \[ V(0) = 0, \quad V(5) = 0. \] Por lo tanto, el volumen se maximiza en \[ r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4.08. \] Calcula la altura correspondiente: \[ h = \sqrt{25 - r^2} = \sqrt{25 - \dfrac{50}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2.88. \]
Encuentra el punto en la recta definida por \[ y = 4 - x \] que esté más cerca del punto \( (6, 3) \).
Cualquier punto \( M \) en la recta puede escribirse como \[ M = (x, 4 - x). \] La distancia \( D \) entre \( M \) y el punto \( (6, 3) \) es \[ D = \sqrt{(x - 6)^2 + (4 - x - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (1 - x)^2}. \] El dominio de \( D \) es \[ x \in (-\infty, \infty). \] Buscamos el \( x \) que minimiza \( D \).
Calcula la primera derivada de \( D \): \[ D' = \dfrac{1}{2} \dfrac{4x - 14}{\sqrt{2x^2 - 14x + 37}}. \] Iguala el numerador a cero para encontrar puntos críticos: \[ 4x - 14 = 0 \implies x = \dfrac{7}{2}. \] Como el denominador siempre es positivo, el signo de \( D' \) depende del numerador: - Para \( x < \dfrac{7}{2} \), \( D' < 0 \) (la distancia disminuye), - Para \( x > \dfrac{7}{2} \), \( D' > 0 \) (la distancia aumenta). Por lo tanto, \( D \) tiene un mínimo en \[ x = \dfrac{7}{2}. \] Encuentra la coordenada \( y \) correspondiente: \[ y = 4 - x = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2}. \] Por lo tanto, el punto en la recta más cercano a \( (6, 3) \) es \[ \boxed{\left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2} \right)}. \]
Una empresa planea construir un oleoducto desde el punto \( A \) mar adentro (en el océano) hasta el punto \( B \) a lo largo de la costa. El costo de construir el oleoducto a lo largo de la costa es de \( k \) dólares por kilómetro, y el costo mar adentro es de \( 3k \) dólares por kilómetro, donde \( k \) es una constante. Encuentra las distancias del oleoducto mar adentro desde \( A \) hasta \( D \) y a lo largo de la costa desde \( D \) hasta \( B \) que minimicen el costo total del oleoducto.
Sea \( x \) la distancia desde \( D \) hasta \( B \) a lo largo de la costa, e \( y \) la distancia mar adentro desde \( A \) hasta \( D \). Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo \( ACB \), encontramos la longitud \( CB \): \[ CB = \sqrt{50^2 - 30^2} = 40 \text{ km}. \] La longitud \( CD \) a lo largo de la costa es \[ CD = CB - x = 40 - x. \] Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo \( ACD \): \[ y = \sqrt{30^2 + (40 - x)^2}. \] El costo total \( C_t \) del oleoducto es \[ C_t(x) = k x + 3 k y = k x + 3 k \sqrt{30^2 + (40 - x)^2}. \] El dominio para \( x \) es \[ x \in [0, 40]. \]
Calcula la derivada de \( C_t \): \[ C_t'(x) = k - 3k \cdot \dfrac{40 - x}{\sqrt{30^2 + (40 - x)^2}} = k \cdot \dfrac{\sqrt{30^2 + (40 - x)^2} - 3(40 - x)}{\sqrt{30^2 + (40 - x)^2}}. \] Iguala el numerador a cero para encontrar puntos críticos: \[ \sqrt{30^2 + (40 - x)^2} = 3(40 - x). \] Eleva al cuadrado ambos lados: \[ 30^2 + (40 - x)^2 = 9(40 - x)^2. \] Simplifica: \[ 30^2 + (40 - x)^2 = 9(40 - x)^2 \implies 30^2 = 8(40 - x)^2. \] Reordenando da la ecuación cuadrática \[ -8x^2 + 640x - 11900 = 0. \] Resolviendo la cuadrática, la solución válida en el dominio es \[ x = \dfrac{80 - 15 \sqrt{2}}{2} \approx 29.40 \text{ km}. \] Evalúa el costo total en los extremos y el punto crítico: \[ C_t(0) = 150 k, \quad C_t(40) = 130 k, \quad C_t(29.40) \approx 124.85 k. \] Por lo tanto, el costo mínimo ocurre en \( x \approx 29.40 \) km. Encuentra la distancia mar adentro \( y \): \[ y = \sqrt{30^2 + (40 - 29.40)^2} \approx 31.81 \text{ km}. \]
Demuestra que si \( x + y = K \), donde \( K \) es una constante, entonces \[ x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2. \] Aquí, \( x \), \( y \) y \( K \) son números reales.
Queremos mostrar que el producto \( x \cdot y \) tiene un valor máximo menor o igual a \( \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \). Expresa \( y \) en términos de \( x \): \[ y = K - x. \] Define la función producto: \[ P(x) = x \cdot y = x(K - x) = -x^2 + Kx. \] El dominio de \( P \) es \[ x \in (-\infty, \infty). \] Calcula la primera derivada de \( P \) (con \( K \) constante): \[ P'(x) = -2x + K. \] Encuentra los puntos críticos resolviendo \( P'(x) = 0 \): \[ -2x + K = 0 \implies x = \dfrac{K}{2}. \] Calcula la segunda derivada: \[ P''(x) = -2. \] Como \( P''(x) \lt 0 \), \( P \) es cóncava hacia abajo y, por lo tanto, tiene un máximo en \( x = \dfrac{K}{2} \). Encuentra el \( y \) correspondiente: \[ y = K - x = K - \dfrac{K}{2} = \dfrac{K}{2}. \] Evalúa el producto máximo: \[ P\left(\dfrac{K}{2}\right) = \dfrac{K}{2} \cdot \dfrac{K}{2} = \left(\dfrac{K}{2}\right)^2. \] Por lo tanto, \[ x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2. \]