Concavidad y Punto de Inflexión de Gráficas
La definición de la concavidad de una gráfica se introduce junto con los puntos de inflexión. Se utilizan ejemplos, con soluciones detalladas, para aclarar el concepto de concavidad.
Ejemplo 1: Cóncava hacia Arriba
Consideremos la gráfica a continuación. Nótese que la pendiente de la recta tangente (primera derivada) aumenta. La gráfica en la figura siguiente se llama cóncava hacia arriba.
Figura 1
Ejemplo 2: Cóncava hacia Abajo
La pendiente de la recta tangente (primera derivada) disminuye en la gráfica a continuación. Llamamos a la gráfica siguiente cóncava hacia abajo.
Figura 2
Definición de Concavidad
Sea \( f' \) la primera derivada de la función \( f \) que es diferenciable en un intervalo dado \( I \), la gráfica de \( f \) es
(i) cóncava hacia arriba en el intervalo \( I \), si \( f' \) es creciente en \( I \),
o
(ii) cóncava hacia abajo en el intervalo \( I \), si \( f' \) es decreciente en \( I \).
El signo de la segunda derivada nos informa cuándo \( f' \) es creciente o decreciente.
Teorema
Sea \( f'' \) la segunda derivada de la función \( f \) en un intervalo dado \( I \), la gráfica de \( f \) es
(i) cóncava hacia arriba en \( I \) si \( f''(x) > 0 \) en el intervalo \( I \).
(ii) cóncava hacia abajo en \( I \) si \( f''(x) < 0 \) en el intervalo \( I \).
Definición de Punto de Inflexión
Un punto \( P \) en la gráfica de \( y = f(x) \) es un punto de inflexión si \( f \) es continua en \( P \) y la concavidad de la gráfica cambia en \( P \). En vista del teorema anterior, hay un punto de inflexión cuando la segunda derivada cambia de signo.
Ejemplo 3
Determina los valores del coeficiente principal \( a \) para los cuales la gráfica de la función \( f(x) = a x^2 + b x + c \) es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Solución al Ejemplo 3
Primero encontramos la primera y segunda derivada de la función \( f \).
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f''(x) = 2a \)
Ahora estudiamos el signo de \( f''(x) \) que es igual a \( 2a \). Si \( a \) es positivo, \( f''(x) \) es positivo en el intervalo \((-∞ , + ∞)\). Según el teorema anterior, la gráfica de \( f \) será cóncava hacia arriba para valores positivos de \( a \).
Si \( a \) es negativo, la gráfica de \( f \) será cóncava hacia abajo en el intervalo \((-∞ , + ∞)\) ya que \( f''(x) = 2a \) es negativo.
Las gráficas de dos funciones cuadráticas se muestran a continuación: \( y = 2x^2 - 2x - 1 \) cuya gráfica es cóncava hacia arriba porque su coeficiente principal (\( a = 2 \)) es positivo y \( y = -x^2 + 3x + 1 \) cuya gráfica es cóncava hacia abajo porque su coeficiente principal (\( a = -1 \)) es negativo.
Ejemplo 4
a) Encuentra los intervalos en los que la gráfica de \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \) es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y el(los) punto(s) de inflexión, si los hay.
b) Usa una calculadora gráfica para graficar \( f \) y confirma tus respuestas de la parte a).
Solución al Ejemplo 4
Encontremos las dos primeras derivadas de la función \( f \).
a)
\( f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \)
\( f''(x) = 12x^2 - 12x \)
Encuentra los ceros de \( f''(x) \).
\( 12x^2 - 12x = 0 \)
\( 12x(x - 1) = 0 \)
Dos ceros
\( x = 0 \) y \( x = 1 \)
Estudia el signo de \( f'' \)
Los dos ceros dividen el conjunto de números reales en tres intervalos. Selecciona un valor para \( x \) en cada uno de los tres intervalos y encuentra el signo de \( f'' \).
Ahora usamos la tabla de signos y el teorema anterior para concluir que
en el intervalo \((-∞ , 0)\); \( f'' \) es positiva y por lo tanto la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba
en el intervalo \( (0 , 1) \); \( f'' \) es negativa y por lo tanto la gráfica de \( f \) es cóncava hacia abajo
en el intervalo \( (1 , +∞) \); \( f'' \) es positiva y por lo tanto la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba
La segunda derivada \( f'' \) cambia de signo en \( x = 0 \) y \( x = 1 \) y por lo tanto la gráfica de \( f \) tiene dos puntos de inflexión: \( (0 , f(0)) \) y \( (1 , f(1)) \)
b)
La gráfica de \( f \) (azul) y \( f'' \) (roja) se muestran a continuación. Se puede ver fácilmente que cuando \( f'' \) es negativa (su gráfica está debajo del eje x), la gráfica de \( f \) es cóncava hacia abajo y cuando \( f'' \) es positiva (su gráfica está sobre el eje x) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba.
El punto \( (0,0) \) es un punto de inflexión donde la concavidad cambia de arriba a abajo a medida que \( x \) aumenta (de izquierda a derecha) y el punto \( (1,0) \) es también un punto de inflexión donde la concavidad cambia de abajo a arriba a medida que \( x \) aumenta (de izquierda a derecha).
Ejemplo 5
La gráfica de la segunda derivada \( f'' \) de la función \( f \) se muestra a continuación. Encuentra los intervalos donde \( f \) es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y el(los) punto(s) de inflexión, si los hay.
Solución al Ejemplo 5
Según la gráfica de \( f'' \), el signo de \( f'' \) se da en los siguientes intervalos
a)
En el intervalo \((-∞ , 2)\), la gráfica de \( f'' \) está debajo del eje x y por lo tanto \( f'' \) es negativa, de ahí que \( f \) es cóncava hacia abajo en el intervalo \((-∞ , 2)\)
En el intervalo \( (2 , +∞) \), la gráfica de \( f'' \) está sobre el eje x y por lo tanto \( f'' \) es positiva, de ahí que \( f \) es cóncava hacia arriba en el intervalo \( (2 , +∞) \)
En \( x = 2 \), el signo de \( f'' \) cambia y por lo tanto \( x = 2 \) es un punto de inflexión.
Ejemplo 6
La gráfica de la primera derivada \( f' \) de la función \( f \) se muestra a continuación. Encuentra los intervalos donde la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y el(los) punto(s) de inflexión, si los hay.
Solución al Ejemplo 6
Usamos la gráfica de la primera derivada \( f' \) para encontrar el signo de la segunda derivada y deducir la concavidad de la gráfica de \( f \).
a)
En el intervalo \((-∞ , -2)\), \( f' \) decrece y por lo tanto \( f'' \) es negativa; la gráfica de \( f \) es cóncava hacia abajo
En el intervalo \( (-2 , -1) \), \( f' \) crece y por lo tanto \( f'' \) es positiva; la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba
En el intervalo \( (-1 , 1) \), \( f' \) decrece y por lo tanto \( f'' \) es negativa; la gráfica de \( f \) es cóncava hacia abajo
En el intervalo \( (1 , +∞) \), \( f' \) crece y por lo tanto \( f'' \) es positiva; la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba
La concavidad de la gráfica de \( f \) cambia en \( x = -2 \), \( x = -1 \) y \( x = 1 \) y por lo tanto todos estos son puntos de inflexión.
Más Referencias y Enlaces
Derivada
Tutoriales y Problemas de Cálculo