Utilizamos la definición de la derivada para demostrar la fórmula de la derivada de \( \cos(x) \). También se presenta la derivada de la función compuesta \( \cos(u(x)) \) utilizando la regla de la cadena, completa con ejemplos resueltos.
Demostración Usando la Definición de la Derivada
La definición de la derivada de una función \( f \) es:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]Sea \( f(x) = \cos x \). Entonces:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} \]Utilizando la identidad trigonométrica:
\[ \cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h \]obtenemos:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} \]Separamos los límites:
\[ f'(x) = \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \]Utilizando los resultados estándar:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \] \[ \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 \]obtenemos:
\[ f'(x) = \cos x(0) - \sin x(1) = -\sin x \]Gráfico de cos(x) y Su Derivada
Los gráficos de \( \cos x \) y su derivada se muestran a continuación. Los máximos y mínimos de \( \cos x \) corresponden a los ceros de su derivada.
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Derivada de la Función Compuesta cos(u(x))
Utilizando la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = \frac{d}{du}(\cos u) \cdot \frac{du}{dx} \] \[ = -\sin u \cdot \frac{du}{dx} \]Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos: Derivación de Funciones Coseno Compuestas
Encuentre las derivadas:
- \( f(x) = \cos(2x + 2) \)
- \( g(x) = \cos(\tan x) \)
- \( h(x) = \cos\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \)
Soluciones:
-
Sea \( u = 2x + 2 \), entonces \( u' = 2 \).
\[ f'(x) = -2\sin(2x + 2) \] -
Sea \( u = \tan x \), entonces \( u' = \sec^2 x \).
\[ g'(x) = -\sin(\tan x)\sec^2 x \] -
Sea \( u = \frac{x^2}{x^2+1} \). Utilizando la regla del cociente:
\[ u' = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \] \[ h'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \]