Demostración de la Derivada de cos(x)

Usamos la definición de derivada para demostrar la fórmula de la derivada de \( \cos(x) \). También se presenta la derivada de la función compuesta \( \cos(u(x)) \) utilizando la regla de la cadena, con ejemplos resueltos.

Demostración Usando la Definición de Derivada

La definición de la derivada de una función \( f \) es

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Sea \( f(x)=\cos x \). Entonces

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \]

Usando la identidad

\[ \cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h \]

obtenemos

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h} \]

Separamos los límites:

\[ f'(x)=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h} \]

Usando los resultados estándar:

\[ \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 \] \[ \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0 \]

obtenemos

\[ f'(x)=\cos x(0)-\sin x(1)=-\sin x \]

\[ \boxed{\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x} \]

Gráfica de cos(x) y su Derivada

Las gráficas de \( \cos x \) y su derivada se muestran a continuación. Los máximos y mínimos de \( \cos x \) corresponden a los ceros de su derivada.

Derivada de la Función Compuesta cos(u(x))

Usando la regla de la cadena:

\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x))=\frac{d}{du}(\cos u)\cdot\frac{du}{dx} \] \[ =-\sin u\cdot\frac{du}{dx} \]

\[ \boxed{\frac{d}{dx}\cos(u(x))=-\sin(u(x))\,u'(x)} \]

Ejemplo

Encuentra las derivadas:

\( f(x)=\cos(2x+2) \)
\( g(x)=\cos(\tan x) \)
\( h(x)=\cos\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \)

Soluciones

\[ u=2x+2,\quad u'=2 \] \[ f'(x)=-2\sin(2x+2) \]
\[ u=\tan x,\quad u'=\sec^2 x \] \[ g'(x)=-\sin(\tan x)\sec^2 x \]
\[ u=\frac{x^2}{x^2+1},\quad u'=\frac{2x}{(x^2+1)^2} \] \[ h'(x)=- \frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \]

Más Referencias

Definición de la derivada
Teorema del encaje (squeezing)
Límites de funciones trigonométricas
Regla de la Cadena