Demostración de la Derivada de csc(x)
La derivada de \( \csc(x) \) se puede calcular usando la
regla del cociente.
Las derivadas de funciones compuestas de cosecante también se presentan con ejemplos resueltos.
Demostración de la Derivada de csc(x)
Usando la identidad trigonométrica:
\[
\csc x = \frac{1}{\sin x}
\]
y la regla del cociente:
\[
\frac{d}{dx}\csc x = \frac{ (\frac{d}{dx} 1) \cdot \sin x - 1 \cdot (\frac{d}{dx} \sin x) }{\sin^2 x}
\]
Dado que \( \frac{d}{dx} 1 = 0 \) y \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \), obtenemos
\[
\frac{d}{dx}\csc x = \frac{0 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cot x \csc x
\]
\[
\boxed{\frac{d}{dx}\csc x = -\cot x \, \csc x}
\]
Gráfica de csc(x) y su Derivada
Las gráficas de \( \csc x \) y su derivada se muestran a continuación.
-and-its-derivative.gif)
Derivada de la Función Compuesta csc(u(x))
Usando la regla de la cadena:
\[
\frac{d}{dx} \csc(u(x)) = \frac{d}{du}(\csc u) \cdot \frac{du}{dx} = -\cot u \, \csc u \cdot \frac{du}{dx}
\]
\[
\boxed{\frac{d}{dx} \csc(u(x)) = -\cot(u(x)) \, \csc(u(x)) \, u'(x)}
\]
Ejemplos
Encuentra las derivadas:
- \( f(x) = \csc(-x^3 + 3) \)
- \( g(x) = \csc(\cos x) \)
- \( h(x) = \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \)
Soluciones
-
\[
u = -x^3 + 3, \quad u' = -3x^2
\]
\[
f'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' \\\\ = -\cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \cdot (-3x^2) \\\\ = 3x^2 \, \cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3)
\]
-
\[
u = \cos x, \quad u' = -\sin x
\]
\[
g'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' \\\\= -\cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \cdot (-\sin x) \\\\= \sin x \, \cot(\cos x) \, \csc(\cos x)
\]
-
\[
u = \frac{1}{x^2+1}, \quad u' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}
\]
\[
h'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' \\\\ = -\cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right) \\\\ = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \, \cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right)
\]
Más Referencias
Reglas de Derivación
Identidades y Fórmulas Trigonométricas
Derivadas de Funciones Trigonométricas
Regla de la Cadena en Cálculo