La derivada de \( \csc(x) \) se puede calcular usando la regla del cociente. También se presentan las derivadas de funciones cosecante compuestas con ejemplos resueltos.
Demostración de la Derivada de csc(x)
Utilizando la identidad trigonométrica:
\[ \csc x = \frac{1}{\sin x} \]y la regla del cociente:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{\left(\frac{d}{dx} 1\right) \cdot \sin x - 1 \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]Dado que \( \frac{d}{dx} 1 = 0 \) y \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \), obtenemos:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{0 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cot x \, \csc x \]
Fórmula:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = -\cot x \, \csc x \]
Gráfico de csc(x) y Su Derivada
Los gráficos de \( \csc x \) y su derivada se muestran a continuación:
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Derivada de la Función Compuesta csc(u(x))
Utilizando la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = \frac{d}{du}(\csc u) \cdot \frac{du}{dx} = -\cot u \, \csc u \cdot \frac{du}{dx} \]
Fórmula de la Regla de la Cadena:
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = -\cot(u(x)) \, \csc(u(x)) \, u'(x) \]
Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos: Derivación de Funciones Cosecante Compuestas
Encuentre las derivadas:
- \( f(x) = \csc(-x^3 + 3) \)
- \( g(x) = \csc(\cos x) \)
- \( h(x) = \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \)
Soluciones:
-
Sea \( u = -x^3 + 3 \), entonces \( u' = -3x^2 \).
\[ f'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \cdot (-3x^2) = 3x^2 \, \cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \] -
Sea \( u = \cos x \), entonces \( u' = -\sin x \).
\[ g'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \cdot (-\sin x) = \sin x \, \cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \] -
Sea \( u = \frac{1}{x^2+1} \), entonces \( u' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \).
\[ h'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \, \cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \]