Encuentra el límite \[ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\dfrac12 x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1-x^2}\right)}{x^4} \]
Para encontrar el límite \(\lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4}\), usamos desarrollos en series de Taylor.
Expandimos el argumento de la función coseno:
\[ \dfrac{x}{1 - x^2} = x \left(1 + x^2 + x^4 + \cdots \right) = x + x^3 + x^5 + \cdots \]Para \(x\) pequeño, aproximamos esto como \(\theta = x + x^3\).
Expandimos \(\cos(\theta)\) usando la serie de Taylor:
\[ \cos(\theta) = \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]Calculamos \(\theta^2\) y \(\theta^4\) hasta términos de \(x^4\):
\[ \theta^2 = (x + x^3)^2 = x^2 + 2x^4 + \cdots \] \[ \theta^4 = (x + x^3)^4 = x^4 + \cdots \]Sustituimos en la expansión del coseno:
\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2 + 2x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - x^4 + \dfrac{x^4}{24} \]Simplificamos los términos:
\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24} \]Sustituimos de vuelta en el numerador de la expresión original:
\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right) \approx 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}\right) \]y simplificamos:
\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{23x^4}{24} = \dfrac{23x^4}{24} \]Dividimos el numerador simplificado por el denominador \(x^4\):
\[ \dfrac{\dfrac{23x^4}{24}}{x^4} = \dfrac{23}{24} \]Por lo tanto, el límite es \[ \boxed{ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\dfrac12 x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1-x^2}\right)}{x^4} = \dfrac{23}{24}}\].
Encuentra el límite
\[ \lim_{x\to 0} \left(\dfrac 1{\sin^2 x} + \dfrac 1{\tan^2x} -\dfrac 2{x^2} \right) \]Para encontrar el límite \(\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \right)\), comenzamos usando identidades trigonométricas y desarrollos en series de Taylor.
Reescribimos la expresión usando identidades trigonométricas:
\[ \dfrac{1}{\tan^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \]Así, la expresión se convierte en:
\[ \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \]Expandimos \(\cos x\) y \(\sin x\) usando series de Taylor:
\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \] \[ \sin x \approx x - \dfrac{x^3}{6} \]Elevando al cuadrado las expansiones anteriores:
\[ \cos^2 x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right)^2 \approx 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \sin^2 x \approx \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 \approx x^2 - \dfrac{x^4}{3} \]Sustituimos estas expansiones en la expresión:
\[ 1 + \cos^2 x \approx 2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} \approx \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 - \dfrac{x^4}{3}} = \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \]Simplificando:
\[ \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \approx \left( \dfrac{2}{x^2} - 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \]Expandimos y simplificamos:
\[ \approx \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]Restamos \(\dfrac{2}{x^2}\):
\[ \left( \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) - \dfrac{2}{x^2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]Tomamos el límite cuando \(x \to 0\):
\[ \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) = -\dfrac{1}{3} \]Por lo tanto, el límite es \[ \boxed{\lim_{x\to 0} \left(\dfrac 1{\sin^2 x} + \dfrac 1{\tan^2x} -\dfrac 2{x^2} \right) = -\dfrac{1}{3}} \].
Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \]Para encontrar el límite \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))}\), usamos desarrollos en series de Taylor:
Expandimos el numerador usando series de Taylor:
\[ \pi \sin x \approx \pi\left(x - \dfrac{x^3}{6}\right), \quad \sin(\pi x) \approx \pi x - \dfrac{(\pi x)^3}{6} \]Restando:
\[ \pi \sin x - \sin(\pi x) \approx \dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6} \]Expandimos las expresiones dentro del paréntesis en el denominador usando series de Taylor:
\[ \cos x - \cos(\pi x) \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{(\pi x)^2}{2}\right) = \dfrac{(\pi^2 - 1)x^2}{2} \]Multiplicamos por \(x\) para obtener el denominador completo:
\[ x(\cos x - \cos(\pi x)) \approx \dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2} \]Formamos el límite:
\[ \dfrac{\dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}}{\dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}} = \dfrac{\pi}{3} \]Por lo tanto, el límite es \[ \boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} = \dfrac{\pi}{3}} \]
El límite de la pregunta 3 también podría resolverse usando el teorema de L'Hôpital diferenciando tres veces el numerador y el denominador.
Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \]Encontraremos el límite \(\lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3}\) usando desarrollos en series de Taylor.
La expansión binomial para una potencia racional está dada por: \[ (1+\epsilon)^n = 1+n \epsilon + \dfrac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 +... \]
Expandimos \(\sqrt{x^2 + 1}\) usando la expansión binomial:
\[ \sqrt{x^2 + 1} = (1+x^2)^{1/2} = 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \cdots \]Restamos \(x\) y tomamos el logaritmo natural:
\[ \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \]Expandimos el logaritmo usando la serie de Taylor:
\[ \ln(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots) \approx -x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots \]Combinamos con el término \(x\) en el numerador:
\[ x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \approx x + (-x + \dfrac{x^3}{6}) = \dfrac{x^3}{6} \]Dividimos el numerador simplificado por el denominador \(x^3\):
\[ \dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6} \]Por lo tanto, el límite es \[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3}= \dfrac{1}{6}} \]
El límite de la pregunta 4 también podría resolverse usando el teorema de L'Hôpital diferenciando tres veces el numerador y el denominador.
Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]Para encontrar el límite \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}}\), procedemos de la siguiente manera:
Sea \( L \) el límite a encontrar:
\[ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]Tomamos el logaritmo natural de ambos lados para simplificar el exponente:
\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]Simplificamos el lado derecho:
\[ \ln L = \lim_{x \to 0} {\dfrac{1}{x^2}} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right) \]Expandimos \(\sin x\) usando la serie de Taylor alrededor de \(x = 0\):
\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots \implies \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \cdots \]Aproximamos el logaritmo usando \(\ln(1 + y) \approx y - \dfrac{y^2}{2} + \cdots\) para \(y\) pequeño:
\[ \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots \]Sustituimos la aproximación en el límite:
\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{6} - \dfrac{x^2}{180} - \cdots \right) = -\dfrac{1}{6} \]Exponenciamos el resultado para resolver \(L\):
\[ L = e^{-\dfrac{1}{6}} \]y finalmente
\[ \boxed{ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} = e^{-\dfrac{1}{6}} } \]Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \]Para encontrar el límite \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4}\), usamos desarrollos en series de Taylor para \(\sin x\) y \(\cos x\).
Desarrollos en series de Taylor:
\(\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\)
\(\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots\)
Expandimos \(\cos(\sin x)\):
Sustituimos \(\sin x\) en la serie de Taylor para \(\cos \theta\) donde \(\theta = \sin x\):
\[ \cos(\sin x) = \cos\left(x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\right) \]Expandimos \(\cos(\theta)\) usando \(\theta = x - \dfrac{x^3}{6}\):
\[ \cos(\theta) = 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]Calculamos \(\theta^2\) y \(\theta^4\) hasta términos de \(x^4\):
\[ \theta^2 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots \] \[ \theta^4 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^4 = x^4 + \cdots \]Sustituimos en la expansión de \(\cos(\theta)\):
\[ \cos(\sin x) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \cdots \]Restamos \(\cos x\) de \(\cos(\sin x)\):
\(\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots\)
Restamos las expansiones:
\[ \cos(\sin x) - \cos x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) = \dfrac{4x^4}{24} = \dfrac{x^4}{6} \]Dividimos por \(x^4\) y tomamos el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{6}}{x^4} = \dfrac{1}{6} \]Por lo tanto, el límite es \[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} = \dfrac{1}{6}} \].