Un punto crítico de una función multivariable es un punto donde las derivadas parciales de primer orden de esta función son iguales a cero. Se presentan ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo encontrar los puntos críticos de una función con dos variables.
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En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Halla el o los puntos críticos de la función \( f \) definida por:
\[ f(x, y) = x^2 + y^2 \]Mostrar solución al ejemplo 1
Primero hallamos las derivadas parciales de primer orden:
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = 2y \]Ahora resolvemos simultáneamente las siguientes ecuaciones \( f_x(x, y) = 0 \) y \( f_y(x, y) = 0 \):
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ 2y = 0 \implies y = 0 \]La solución al sistema de ecuaciones anterior es el par ordenado \( (0, 0) \).
A continuación se muestra la gráfica de \( f(x, y) = x^2 + y^2 \), que muestra que en el punto crítico \( (0, 0) \), \( f \) tiene un valor mínimo.
Ejemplo 2
Halla el o los puntos críticos de la función \( f \) definida por:
\[ f(x, y) = x^2 - y^2 \]Mostrar solución al ejemplo 2
Halla las derivadas parciales de primer orden de la función \( f \):
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]Resuelve simultáneamente las ecuaciones \( f_x(x, y) = 0 \) y \( f_y(x, y) = 0 \):
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]La solución es el par ordenado \( (0, 0) \).
La gráfica de \( f(x, y) = x^2 - y^2 \) se muestra a continuación. La superficie se curva hacia abajo en la dirección de \( y \) y hacia arriba en la dirección de \( x \). \( f \) es estacionaria en \( (0, 0) \), pero no hay ningún extremo (máximo o mínimo). \( (0, 0) \) se denomina punto de silla porque la superficie cerca de \( (0, 0) \) se parece a una silla de montar.
Ejemplo 3
Halla el o los puntos críticos de la función \( f \) definida por:
\[ f(x, y) = -x^2 - y^2 \]Mostrar solución al ejemplo 3
Primero hallamos las derivadas parciales de primer orden:
\[ f_x(x, y) = -2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]Ahora resolvemos simultáneamente \( f_x(x, y) = 0 \) y \( f_y(x, y) = 0 \):
\[ -2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]La solución es el par ordenado \( (0, 0) \).
La gráfica de \( f(x, y) = -x^2 - y^2 \) se muestra a continuación, ilustrando un máximo relativo.
Ejemplo 4
Halla el o los puntos críticos de la función \( f \) definida por:
\[ f(x, y) = x^3 + 3x^2 - 9x + y^3 - 12y \]Mostrar solución al ejemplo 4
Las derivadas parciales de primer orden están dadas por:
\[ f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 \] \[ f_y(x, y) = 3y^2 - 12 \]Ahora resolvemos simultáneamente las ecuaciones \( f_x(x, y) = 0 \) y \( f_y(x, y) = 0 \):
\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \implies 3(x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ o } x = 1 \] \[ 3y^2 - 12 = 0 \implies 3(y^2 - 4) = 0 \implies y = -2 \text{ o } y = 2 \]Combinando todas las combinaciones posibles de \( x \) y \( y \), los puntos críticos son:
\[ (1, 2), \; (1, -2), \; (-3, 2), \; (-3, -2) \]Ejercicios
Halla, si existen, los puntos críticos para las funciones siguientes. Haz clic en cada ejercicio para comprobar tus respuestas.
Ejercicio 1
\( f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3 \)
Mostrar respuesta
Ejercicio 2
\( f(x, y) = e^{-x^2 - y^2 + 2x - 2y - 2} \)
Mostrar respuesta
Ejercicio 3
\( f(x, y) = \dfrac{1}{2}x^2 + y^3 - 3xy - 4x + 2 \)
Mostrar respuesta
Ejercicio 4
\( f(x, y) = x^3 + y^3 + 2x + 6y \)