Localice máximos, mínimos relativos y puntos silla de funciones de dos variables. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Se muestran gráficas tridimensionales de funciones para confirmar la existencia de estos puntos. Más sobre Problemas de Optimización con Funciones de Dos Variables en este sitio web.
Sea \( f \) una función con dos variables con derivadas parciales de segundo orden continuas \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) y \( f_{xy} \) en un punto crítico \((a,b)\). Sea
\[ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - f_{xy}^2(a,b) \]a) Si \( D > 0 \) y \( f_{xx}(a,b) > 0 \), entonces \( f \) tiene un mínimo relativo en el punto \((a,b)\).
b) Si \( D > 0 \) y \( f_{xx}(a,b) \lt 0 \), entonces \( f \) tiene un máximo relativo en el punto \((a,b)\).
c) Si \( D \lt 0 \), entonces \( f \) tiene un punto silla en el punto \((a,b)\).
d) Si \( D = 0 \), entonces no se puede sacar ninguna conclusión.
A continuación presentamos varios ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo localizar mínimos, máximos relativos y puntos silla de funciones de dos variables. Cuando se encuentran demasiados puntos críticos, el uso de una tabla es muy conveniente.
Determine los puntos críticos y localice cualquier mínimo, máximo relativo y puntos silla de la función \( f \) definida por
\[ f(x , y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]Solución al Ejemplo 1:
Encuentre las primeras derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \).
\( f_x(x,y) = 4x + 2y - 6 \)
\( f_y(x,y) = 2x + 4y \)
Los puntos críticos satisfacen las ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente. Por lo tanto
\( 4x + 2y - 6 = 0 \)
\( 2x + 4y = 0 \)
El sistema de ecuaciones anterior tiene una solución en el punto (2,-1).
Ahora necesitamos encontrar las derivadas parciales de segundo orden \( f_{xx}(x,y) \), \( f_{yy}(x,y) \) y \( f_{xy}(x,y) \).
\( f_{xx}(x,y) = 4 \)
\( f_{yy}(x,y) = 4 \)
\( f_{xy}(x,y) = 2 \)
Ahora necesitamos encontrar \( D \) definido anteriormente.
\( D = f_{xx}(2,-1) f_{yy}(2,-1) - f_{xy}^2(2,-1) = ( 4 )( 4 ) - 2^2 = 12 \)
Dado que \( D \) es positivo y \( f_{xx}(2,-1) \) también es positivo, según el teorema anterior, la función \( f \) tiene un mínimo local en (2,-1).
La gráfica tridimensional de la función \( f \) dada anteriormente muestra que \( f \) tiene un mínimo local en el punto (2,-1,\( f(2,-1) \)) = (2,-1,-6).
Determine los puntos críticos y localice cualquier mínimo, máximo relativo y puntos silla de la función \( f \) definida por
Solución al Ejemplo 2:
Encuentre las primeras derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \).
\( f_x(x,y) = 4x - 4y \)
\( f_y(x,y) = - 4x + 4y^3 \)
Determine los puntos críticos resolviendo las ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente. Por lo tanto
\( 4x - 4y = 0 \)
\( - 4x + 4y^3 = 0 \)
La primera ecuación da \( x = y \). Sustituya \( x \) por \( y \) en la ecuación \( - 4x + 4y^3 = 0 \) para obtener.
\( - 4y + 4y^3 = 0 \)
Factorice y resuelva para \( y \).
\( 4y(-1 + y^2) = 0 \)
\( y = 0 \), \( y = 1 \) y \( y = -1 \)
Ahora usamos la ecuación \( x = y \) para encontrar los puntos críticos.
\( (0 , 0) \), \( (1 , 1) \) y \( (-1 , -1) \)
Ahora determinamos las derivadas parciales de segundo orden.
\( f_{xx}(x,y) = 4 \)
\( f_{yy}(x,y) = 12y^2 \)
\( f_{xy}(x,y) = -4 \)
Ahora usamos una tabla para estudiar los signos de \( D \) y \( f_{xx}(a,b) \) y usamos el teorema anterior para decidir si un punto crítico dado es un punto silla, máximo o mínimo relativo.
| punto crítico \( (a,b) \) | (0,0) | (1,1) | (-1,-1) |
| \( f_{xx}(a,b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a,b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a,b) \) | -4 | -4 | -4 |
| D | -16 | 32 | 32 |
| punto silla | mínimo relativo | mínimo relativo |
Una gráfica tridimensional de la función \( f \) muestra que \( f \) tiene dos mínimos locales en (-1,-1,1) y (1,1,1) y un punto silla en (0,0,2).
Determine los puntos críticos y localice cualquier mínimo, máximo relativo y puntos silla de la función \( f \) definida por
Solución al Ejemplo 3:
Las primeras derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) están dadas por.
\( f_x(x,y) = - 4x^3 + 4y \)
\( f_y(x,y) = - 4y^3 + 4x \)
Ahora resolvemos las ecuaciones \( f_y(x,y) = 0 \) y \( f_x(x,y) = 0 \) para encontrar los puntos críticos.
\( - 4x^3 + 4y = 0 \)
\( - 4y^3 + 4x = 0 \)
La primera ecuación da \( y = x^3 \). Combinado con la segunda ecuación, obtenemos.
\( - 4(x^3)^3 + 4x = 0 \)
Que puede escribirse como.
\( x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \)
Que tiene las soluciones.
\( x = 0 \), \( -1 \) y \( 1 \).
Ahora usamos la ecuación \( y = x^3 \) para encontrar los puntos críticos.
\( (0 , 0) \), \( (1 , 1) \) y \( (-1 , -1) \)
Ahora determinamos las derivadas parciales de segundo orden.
\( f_{xx}(x,y) = -12x^2 \)
\( f_{yy}(x,y) = -12y^2 \)
\( f_{xy}(x,y) = 4 \)
La tabla a continuación muestra los signos de \( D \) y \( f_{xx}(a,b) \). Luego, el teorema anterior se utiliza para decidir qué tipo de punto crítico es.
| punto crítico \( (a,b) \) | (0,0) | (1,1) | (-1,-1) |
| \( f_{xx}(a,b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a,b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a,b) \) | 4 | 4 | 4 |
| D | -16 | 128 | 128 |
| punto silla | máximo relativo | máximo relativo |
Una gráfica tridimensional de la función \( f \) muestra que \( f \) tiene dos máximos locales en (-1,-1,2) y (1,1,2) y un punto silla en (0,0,0).
Determine los puntos críticos de las funciones a continuación y averigüe si cada punto corresponde a un mínimo relativo, máximo, punto silla o no se puede sacar ninguna conclusión.
1. \( f(x , y) = x^2 + 3 y^2 - 2 xy - 8x \)
2. \( f(x , y) = x^3 - 12 x + y^3 + 3 y^2 - 9y \)
1. máximo relativo en (1,1) y (-1,-1) y un punto silla en (0,0)
2. máximo relativo en (2,-3), mínimo relativo en (2,1), puntos silla en (-2,-3) y (-2,1).