Localiza máximos relativos, mínimos y puntos de silla de funciones de dos variables. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Se muestran gráficas en 3 dimensiones de las funciones para confirmar la existencia de estos puntos. Más sobre problemas de optimización con funciones de dos variables está disponible en este sitio web.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Teorema: Prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables
Sea \( f \) una función de dos variables con derivadas parciales de segundo orden continuas \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) y \( f_{xy} \) en un punto crítico \( (a, b) \). Sea:
\[ D = f_{xx}(a, b) f_{yy}(a, b) - f_{xy}^2(a, b) \]- a) Si \( D > 0 \) y \( f_{xx}(a, b) > 0 \), entonces \( f \) tiene un mínimo relativo en el punto \( (a, b) \).
- b) Si \( D > 0 \) y \( f_{xx}(a, b) < 0 \), entonces \( f \) tiene un máximo relativo en el punto \( (a, b) \).
- c) Si \( D < 0 \), entonces \( f \) tiene un punto de silla en el punto \( (a, b) \).
- d) Si \( D = 0 \), no se puede sacar ninguna conclusión.
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Determina los puntos críticos y localiza cualquier mínimo, máximo y punto de silla relativo de la función \( f \) definida por:
\[ f(x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]Mostrar solución al ejemplo 1
Halla las derivadas parciales de primer orden \( f_x \) y \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = 4x + 2y - 6 \] \[ f_y(x, y) = 2x + 4y \]Los puntos críticos satisfacen las ecuaciones \( f_x(x, y) = 0 \) y \( f_y(x, y) = 0 \) simultáneamente:
\[ 4x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2x + 4y = 0 \implies x = -2y \]Sustituye \( x = -2y \) en la primera ecuación:
\[ 4(-2y) + 2y - 6 = 0 \implies -6y = 6 \implies y = -1 \]Luego \( x = -2(-1) = 2 \). El sistema tiene un punto crítico en \( (2, -1) \).
Halla las derivadas parciales de segundo orden:
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 4, \quad f_{xy}(x, y) = 2 \]Evalúa \( D \) en \( (2, -1) \):
\[ D = f_{xx}(2, -1) f_{yy}(2, -1) - f_{xy}^2(2, -1) = (4)(4) - 2^2 = 16 - 4 = 12 \]Dado que \( D = 12 > 0 \) y \( f_{xx}(2, -1) = 4 > 0 \), la función \( f \) tiene un mínimo local en \( (2, -1) \).
La gráfica en 3D confirma un mínimo local en \( (2, -1, f(2, -1)) = (2, -1, -6) \).
Ejemplo 2
Determina los puntos críticos y localiza cualquier mínimo, máximo y punto de silla relativo de la función \( f \) definida por:
\[ f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^4 + 2 \]Mostrar solución al ejemplo 2
Halla las derivadas parciales de primer orden \( f_x \) y \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = 4x - 4y \] \[ f_y(x, y) = -4x + 4y^3 \]Resuelve \( f_x(x, y) = 0 \) y \( f_y(x, y) = 0 \) simultáneamente:
\[ 4x - 4y = 0 \implies x = y \]Sustituye \( x = y \) en \( -4x + 4y^3 = 0 \):
\[ -4y + 4y^3 = 0 \implies 4y(y^2 - 1) = 0 \implies y = 0, \; y = 1, \; y = -1 \]Usando \( x = y \), los puntos críticos son:
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]Halla las derivadas parciales de segundo orden:
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = -4 \]Evalúa \( D \) y \( f_{xx} \) en cada punto crítico:
| Punto crítico \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | -4 | -4 | -4 |
| \( D \) | -16 | 32 | 32 |
| Conclusión | Punto de silla | Mínimo relativo | Mínimo relativo |
Ejemplo 3
Determina los puntos críticos y localiza cualquier mínimo, máximo y punto de silla relativo de la función \( f \) definida por:
\[ f(x, y) = -x^4 - y^4 + 4xy \]Mostrar solución al ejemplo 3
Halla las derivadas parciales de primer orden \( f_x \) y \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = -4x^3 + 4y \] \[ f_y(x, y) = -4y^3 + 4x \]Resuelve \( f_x = 0 \) y \( f_y = 0 \):
\[ -4x^3 + 4y = 0 \implies y = x^3 \]Sustituye \( y = x^3 \) en la segunda ecuación:
\[ -4(x^3)^3 + 4x = 0 \implies -4x^9 + 4x = 0 \implies -4x(x^8 - 1) = 0 \implies x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \]Las soluciones reales para \( x \) son \( x = 0, 1, -1 \). Usando \( y = x^3 \), los puntos críticos son:
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]Derivadas parciales de segundo orden:
\[ f_{xx}(x, y) = -12x^2, \quad f_{yy}(x, y) = -12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = 4 \]| Punto crítico \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( D \) | -16 | 128 | 128 |
| Conclusión | Punto de silla | Máximo relativo | Máximo relativo |
Ejercicios
Determina los puntos críticos de las funciones a continuación y descubre si cada punto corresponde a un mínimo relativo, un máximo o un punto de silla. Haz clic en cada ejercicio para comprobar tus respuestas.
Ejercicio 1
\( f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 2xy - 8x \)
Mostrar respuesta
Punto crítico en \( (6, 2) \). Dado que \( f_{xx} = 2 > 0 \) y \( D = 2(6) - (-2)^2 = 8 > 0 \), hay un mínimo relativo en \( (6, 2) \).
Ejercicio 2
\( f(x, y) = x^3 - 12x + y^3 + 3y^2 - 9y \)
Mostrar respuesta
Los puntos críticos son \( (2, 1), (2, -3), (-2, 1), (-2, -3) \):
- Mínimo relativo en \( (2, 1) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = 12 > 0 \))
- Máximo relativo en \( (-2, -3) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = -12 < 0 \))
- Puntos de silla en \( (2, -3) \) y \( (-2, 1) \) (\( D = -144 < 0 \))