Las ecuaciones paramétricas se presentan con ejemplos y sus soluciones. Más preguntas con soluciones están incluidas.
Ejemplos
Ejemplo 1
Algunas curvas se describen mejor usando ecuaciones paramétricas \( x \) y \( y \) en términos de un parámetro[1][2].
El siguiente es un ejemplo de ecuaciones paramétricas \( x(t) \) y \( y(t) \) en términos del parámetro \( t \).
\[
\left\{ \begin{aligned}
x(t) &= t \\\\
y(t) &= 0.5 t^2 \qquad \text{para} \; t \; \in [0,3]
\end{aligned} \right.
\]
La gráfica de la curva de las ecuaciones paramétricas se obtiene encontrando las coordenadas \( x \) y \( y \) para diferentes valores del parámetro \( t \) como se muestra en la tabla a continuación.
Tabla 1: Tabla de Valores de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = t \) y \( y(t) = 0.5 t^2 \)
La gráfica de la curva definida por las ecuaciones paramétricas \( x(t) = t \) y \( y(t) = 0.5 t^2 \) para \( t \) en el rango \( [0 , 3] \) se muestra a continuación.
Cada valor de \( t \) determina un punto \( (x,y) \) que se representa en un sistema de coordenadas. A medida que \( t \) varía, el punto \( (x(t), y(t)) \) traza una curva llamada curva paramétrica.
Las flechas rojas indican la dirección de aumento del parámetro \( t \).
Fig.1: Gráfica de la Curva de Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = t \) y \( y(t) = 0.5 t^2 \) Nota que la curva obtenida es parte de una parábola que puede obtenerse eliminando \( t \) de la siguiente manera:
Resuelve la primera ecuación paramétrica \( x(t) = t \) para \( t \) obteniendo:
\[ t = x \]
Sustituye \( t \) por \( x \) en la segunda ecuación \( y(t) = 0.5 t^2 \) para obtener:
\[ y = 0.5 x^2 \]
que es una parábola.
Al tomar los valores de \( t \) en el rango \( [0 , 3] \) solo se muestra parte de esta parábola.
Ejemplo 2
Este ejemplo muestra la ventaja de usar simples ecuaciones paramétricas para describir curvas complejas. Las ecuaciones paramétricas dadas a continuación describen las curvas de Lissajous utilizadas en ingeniería eléctrica.
Sea:
\[
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) &= \sin t + 1 \\\\
y(t) &= \sin 2t + 2 \qquad \text{para} t \in [0,2\pi]
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\]
La tabla de valores de \( x \) y \( y \) para diferentes valores del parámetro \( t \) se muestra a continuación.
Tabla 2: Tabla de Valores de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \sin t + 1 \) y \( y(t) = \sin 2t + 2\)
La gráfica de la curva definida por las ecuaciones paramétricas \( x(t) = \sin t + 1 \) y \( y(t) = \sin 2t + 2\) para \( t \) en el rango \( [0 , 2\pi] \) se muestra a continuación con las flechas indicando la dirección de aumento del parámetro \( t \). Esta curva es una de:
Fig.2: Gráfica de la Curva de Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \sin t + 1 \) y \( y(t) = \sin 2t + 2 \)
Ahora encontremos una ecuación de la curva en coordenadas rectangulares eliminando el parámetro \( t \).
La primera ecuación puede reescribirse como:
\[ \sin t = x - 1\]
Usa la identidad trigonométrica \( \sin (2 t) = 2 \sin t \cos t \) para reescribir la segunda ecuación como:
\[ y = 2 \sin t \cos t + 2 \]
Usa la identidad trigonométrica \( \cos (t) = \pm \sqrt {1-\sin^2 t}\) para reescribir la ecuación anterior como:
\[ y = \pm 2 \sin t \sqrt {1-\sin^2 t} + 2 \]
Sustituye \( \sin t \) por \( x - 1 \) en la ecuación anterior para obtener:
\[ y = \pm 2 (x - 1) \sqrt{1 - (x-1)^2} + 2 \]
Que puede escribirse como:
\[ y - 2 = \pm 2 (x - 1) \sqrt{1 - (x-1)^2} \]
Eleva al cuadrado ambos lados, simplifica y escribe como una ecuación:
\[ \left(y-2\right)^{2}=4\left(x-1\right)^{2}\left(2x-x^{2}\right) \]
Nota que este ejemplo muestra la simplicidad de las ecuaciones paramétricas para representar curvas complejas que pueden no ser simples de describir mediante una ecuación en coordenadas rectangulares como se mostró anteriormente.
Preguntas
Encuentra una ecuación en coordenadas rectangulares para describir la curva cuyas ecuaciones paramétricas se dan a continuación y luego grafica las curvas de los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas.
Resuelve la ecuación \( x = t^3 - 1 \) para \( t \):
\[ t = \sqrt[3]{x + 1} \]
Sustituye \( t \) por \( \sqrt[3]{x + 1} \) en \( y \):
\[ \boxed { y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 1}-1} } \]
Reescribe la ecuación \( x = 2 \sin t - 3 \) como:
\[ \sin t = \dfrac{x+3}{2} \]
Reescribe la ecuación \( y = 2 \cos t + 4 \) como:
\[ \cos t = \dfrac{y - 4}{2} \]
Sustituye \( \sin t \) y \( \cos t \) en la identidad trigonométrica \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \) por sus expresiones para escribir:
\[ \left(\dfrac{x+3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y - 4}{2}\right)^2 = 1 \]
Simplifica y reescribe como:
\[ \boxed { (x+3)^2 + (y-4)^2 = 2^2 } \]
Nota que la anterior es la ecuación de un círculo con centro en \( (-3,4) \) y radio igual a \( 2 \).
Usa la identidad trigonométrica \( \cos (2t) = 1 - 2 \sin^2 t \) para reescribir la ecuación \( x = 2 \cos (2 t) \) como:
\[ x = 2 (1-2 \sin^2 t) \]
Reescribe la ecuación \( y = \sin t - 1 \) como:
\[ \sin t = y + 1 \]
Sustituye \( \sin t \) en \( x = 2 (1-2 \sin^2 t) \) por \( y + 1 \) para obtener:
\[ \boxed { x = 2-4(y+1)^2 } \]
Nota que la anterior es la ecuación de una parábola con eje horizontal y vértice en \( (2,-1) \).
Fig.3: Gráfica de Todas las Curvas de Ecuaciones Paramétricas Dadas Anteriormente
Más Referencias
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
