Ecuaciones paramétricas

Definiciones, ejemplos, eliminación de parámetros y soluciones detalladas

Las ecuaciones paramétricas se presentan con ejemplos y sus soluciones. Se incluyen más preguntas con soluciones.

En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.

Ejemplos

Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.

Ejemplo 1

Algunas curvas se describen mejor utilizando ecuaciones paramétricas \( x \) e \( y \) en términos de un parámetro [1] [2].
El siguiente es un ejemplo de ecuaciones paramétricas \( x(t) \) e \( y(t) \) en términos del parámetro \( t \):

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t \\ y(t) &= 0.5 t^2 \qquad \text{para} \; t \in [0, 3] \end{aligned} \right. \]
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La gráfica de la curva se realiza encontrando las coordenadas \( x \) e \( y \) para diferentes valores del parámetro \( t \):

Tabla de valores de ecuaciones paramétricas
Tabla 1. Tabla de valores para \( x(t) = t \) e \( y(t) = 0.5 t^2 \)

Cada valor de \( t \) determina un punto \( (x, y) \) graficado en un sistema de coordenadas. A medida que \( t \) varía, el punto \( (x(t), y(t)) \) traza una curva llamada curva paramétrica. Las flechas rojas muestran la dirección de aumento del parámetro \( t \).

Ejemplo de ecuaciones paramétricas
Fig. 1. Gráfica de la curva paramétrica \( x(t) = t \) e \( y(t) = 0.5 t^2 \)

Nota que la curva obtenida es parte de una parábola que se puede obtener eliminando \( t \):
Despeja \( t \) de la primera ecuación \( x(t) = t \): \( t = x \).
Sustituye \( t \) en la segunda ecuación \( y(t) = 0.5 t^2 \):

\[ y = 0.5 x^2 \]

Al tomar valores de \( t \) en el rango \( [0, 3] \), solo se muestra una parte de esta parábola.

Ejemplo 2

Este ejemplo muestra la ventaja de utilizar ecuaciones paramétricas simples para describir curvas complejas. Las ecuaciones paramétricas a continuación describen curvas de Lissajous utilizadas en ingeniería eléctrica.
Sea:

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t + 1 \\ y(t) &= \sin 2t + 2 \qquad \text{para} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]
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Tabla de valores de las curvas de Lissajous
Tabla 2. Tabla de valores para \( x(t) = \sin t + 1 \) e \( y(t) = \sin 2t + 2 \)
Gráfica de las curvas de Lissajous
Fig. 2. Gráfica de la curva paramétrica de Lissajous

Hallemos una ecuación de la curva en coordenadas rectangulares eliminando el parámetro \( t \):

La primera ecuación da:

\[ \sin t = x - 1 \]

Utilizando la identidad trigonométrica \( \sin(2t) = 2\sin t \cos t \), reescribe la segunda ecuación:

\[ y = 2\sin t \cos t + 2 \]

Dado que \( \cos t = \pm\sqrt{1 - \sin^2 t} \):

\[ y = \pm 2\sin t \sqrt{1 - \sin^2 t} + 2 \]

Sustituye \( \sin t = x - 1 \):

\[ y = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} + 2 \implies y - 2 = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} \]

Elevar al cuadrado ambos lados y simplificar produce la única ecuación rectangular:

\[ (y - 2)^2 = 4(x - 1)^2(2x - x^2) \]

Nota: Esto demuestra la simplicidad de las ecuaciones paramétricas para representar curvas complejas que son engorrosas de describir en coordenadas rectangulares.

Preguntas

Halla una ecuación en coordenadas rectangulares para describir la curva de cada conjunto de ecuaciones paramétricas a continuación y grafica las curvas resultantes.

  1. \[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t^3 - 1 \\ y(t) &= \dfrac{1}{t - 1} \qquad \text{para} \; t \in [-1, 1.5] \end{aligned} \right. \]

  2. \[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\sin t - 3 \\ y(t) &= 2\cos t + 4 \qquad \text{para} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

  3. \[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\cos(2t) \\ y(t) &= \sin t - 1 \qquad \text{para} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

Soluciones a los ejercicios anteriores

Solución a la pregunta 1

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Despeja \( t \) de \( x = t^3 - 1 \):

\[ t = \sqrt[3]{x + 1} \]

Sustituye \( t \) en \( y \):

\[ \boxed{y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 1} - 1}} \]

Solución a la pregunta 2

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Reescribe las ecuaciones como:

\[ \sin t = \dfrac{x + 3}{2}, \quad \cos t = \dfrac{y - 4}{2} \]

Sustituye en la identidad \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \):

\[ \left(\dfrac{x + 3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y - 4}{2}\right)^2 = 1 \]

Simplifica para obtener la ecuación estándar del círculo:

\[ \boxed{(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2} \]

Nota: Este es un círculo centrado en \( (-3, 4) \) con radio \( 2 \).

Solución a la pregunta 3

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Utiliza la identidad trigonométrica \( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t \):

\[ x = 2(1 - 2\sin^2 t) \]

De \( y = \sin t - 1 \), obtenemos \( \sin t = y + 1 \). Sustituye esto en la ecuación para \( x \):

\[ \boxed{x = 2 - 4(y + 1)^2} \]

Nota: Esto representa una parábola con eje horizontal y vértice en \( (2, -1) \).

Gráfica de las curvas dadas por ecuaciones paramétricas
Fig. 3. Gráfica de las curvas para todas las ecuaciones paramétricas dadas anteriormente

Más referencias

  1. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  3. Derivada de ecuaciones paramétricas y sus aplicaciones
  4. Problemas y tutoriales de cálculo
  5. Página Principal