Series de Taylor y Maclaurin con ejemplos

Tutorial de cálculo: Aproximaciones polinómicas y expansiones en series de potencias

Se presenta el uso de las series de Taylor y Maclaurin para expandir y aproximar funciones como una serie de potencias en valores dados de \( x \). Estas series proporcionan aproximaciones polinómicas útiles de funciones generadoras que son más fáciles de programar en calculadoras. Se incluyen ejemplos, preguntas y sus soluciones.

En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.

Definición de las series de Taylor y Maclaurin

Para una función \( f \) con derivadas de todos los órdenes definidas en un intervalo que contiene a \( a \), la serie de Taylor de la función \( f \) en \( x = a \) está dada por [1]:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \]

donde \( f'(a), f''(a), \dots, f^{(n)}(a), \dots \) son las derivadas de \( f \) evaluadas en \( x = a \).

La serie de Maclaurin de la función \( f \) es la serie de Taylor centrada en \( x = 0 \) y está dada por:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

Las series de Taylor y Maclaurin son infinitas, pero pueden truncarse a \( n \) términos para producir un polinomio de Taylor dado por:

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

Se encuentra disponible una calculadora de series de Taylor en línea que se puede utilizar para comprobar muchos de los ejemplos y ejercicios presentados a continuación, así como para generar nuevos problemas.

Ejemplos de expansión en series de Taylor y Maclaurin

Ejemplo 1

a) Halla el polinomio de Taylor \( P_4(x) \) (de orden 4) generado por \( f(x) = \sin(x) \) en \( x = \pi/2 \).
b) Grafica \( \sin(x) \) y \( P_4(x) \) en un intervalo que contenga a \( \pi/2 \) y compara las dos gráficas.

Mostrar solución al ejemplo 1

a) El polinomio de Taylor de orden 4 está dado por:

\[ P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2)(x-\pi/2) + \frac{f''(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^2 + \frac{f^{(3)}(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^3 + \frac{f^{(4)}(\pi/2)}{4!}(x-\pi/2)^4 \]

Calculando las primeras 4 derivadas de \( f(x) = \sin(x) \):

  • \( f(x) = \sin(x) \implies f(\pi/2) = 1 \)
  • \( f'(x) = \cos(x) \implies f'(\pi/2) = 0 \)
  • \( f''(x) = -\sin(x) \implies f''(\pi/2) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \implies f^{(3)}(\pi/2) = 0 \)
  • \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \implies f^{(4)}(\pi/2) = 1 \)

Sustituyendo en \( P_4(x) \):

\[ P_4(x) = 1 + 0 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + 0 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 = 1 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 \]

b) Al comparar las gráficas de \( \sin(x) \) y su polinomio de Taylor de orden 4, las dos curvas coinciden estrechamente cerca de \( x = \pi/2 \), lo que confirma que \( P_4(x) \) proporciona una aproximación local precisa.

Gráficas que comparan sin(x) y su expansión de Taylor del ejemplo 1
Figura 1. Comparación de \( \sin(x) \) y \( P_4(x) \)

Ejemplo 2

a) Halla el polinomio de Taylor \( P_5(x) \) (de orden 5) generado por \( f(x) = \ln(x) \) en \( x = 1 \).
b) Grafica \( \ln(x) \) y \( P_5(x) \) en un intervalo que contenga a \( 1 \) y compara las dos gráficas.
c) Evalúa \( P_5(x) \) y \( \ln(x) \) en la siguiente tabla y compara los valores correspondientes.

\( P_5(x) \)\( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) \)\( \ln(1.01) \)
\( P_5(0.99) \)\( \ln(0.99) \)
\( P_5(1.1) \)\( \ln(1.1) \)
\( P_5(0.9) \)\( \ln(0.9) \)
\( P_5(1.5) \)\( \ln(1.5) \)
\( P_5(0.5) \)\( \ln(0.5) \)
\( P_5(1.8) \)\( \ln(1.8) \)
\( P_5(0.2) \)\( \ln(0.2) \)
Mostrar solución al ejemplo 2

a) El polinomio de Taylor de orden 5 en \( x = 1 \) es:

\[ P_5(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + \frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5 \]

Calculando las primeras 5 derivadas de \( f(x) = \ln(x) \):

  • \( f(x) = \ln(x) \implies f(1) = 0 \)
  • \( f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1 \)
  • \( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(1) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3} \implies f^{(3)}(1) = 2 \)
  • \( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \implies f^{(4)}(1) = -6 \)
  • \( f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5} \implies f^{(5)}(1) = 24 \)

Sustituyendo en \( P_5(x) \) y simplificando:

\[ P_5(x) = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + \frac{10}{3}x^3 - 5x^2 + 5x - \frac{137}{60} \]

b) Las gráficas muestran que \( P_5(x) \) aproxima bien a \( \ln(x) \) cerca de \( x = 1 \).

Gráficas que comparan ln(x) y su expansión de Taylor del ejemplo 2
Figura 2. Comparación de \( \ln(x) \) y \( P_5(x) \)

c) Comparación de la tabla de evaluación:

Aproximado \( P_5(x) \)Exacto \( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) = 0.00995 \)\( \ln(1.01) = 0.00995 \)
\( P_5(0.99) = -0.01005 \)\( \ln(0.99) = -0.01005 \)
\( P_5(1.1) = 0.09531 \)\( \ln(1.1) = 0.09531 \)
\( P_5(0.9) = -0.10536 \)\( \ln(0.9) = -0.10536 \)
\( P_5(1.5) = 0.40729 \)\( \ln(1.5) = 0.40546 \)
\( P_5(0.5) = -0.68854 \)\( \ln(0.5) = -0.69314 \)
\( P_5(1.8) = 0.61380 \)\( \ln(1.8) = 0.58778 \)
\( P_5(0.2) = -1.45860 \)\( \ln(0.2) = -1.60943 \)

El polinomio \( P_5(x) \) proporciona una excelente aproximación para valores cercanos a \( x = 1 \).

Ejemplo 3

a) Halla la serie de Maclaurin generada por \( f(x) = e^x \).
b) Grafica la serie de Maclaurin en un intervalo que contenga a \( 0 \) con 2, 3, 4, 5 y 6 términos.

Mostrar solución al ejemplo 3

a) La serie de Maclaurin está dada por:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

Dado que todas las derivadas de \( f(x) = e^x \) evaluadas en \( x = 0 \) son iguales a \( 1 \):

\[ 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots + \frac{1}{n!}x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

b) Polinomios de diferentes órdenes:

  • \( P_1(x) = 1 + x \)
  • \( P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)
  • \( P_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)
  • \( P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \)
  • \( P_5(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{120}x^5 \)
Gráficas de la serie de Maclaurin de diferentes órdenes y la función e^x
Figura 3. Gráficas de los polinomios de Maclaurin de varios órdenes para \( e^x \)

Preguntas

Parte A

Halla el polinomio de Taylor de orden 4 generado por \( f \) en el valor dado de \( x \):

  1. \( f(x) = e^{-x} \), en \( x = 2 \)
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \), en \( x = \pi \)

Parte B

Halla la serie de Maclaurin para las funciones:

  1. \( f(x) = \cos(x + \pi/2) \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

Parte C

Halla el polinomio de Taylor de orden 5 generado por \( f(x) = \sin(x)e^x \) en \( x = 0 \) y grafica \( f \) y el polinomio de Taylor en el mismo sistema de coordenadas.

Soluciones a las preguntas anteriores

Parte A

  1. \( f(x) = e^{-x} \implies f'(x) = -e^{-x}, \, f''(x) = e^{-x}, \, f^{(3)}(x) = -e^{-x}, \, f^{(4)}(x) = e^{-x} \). En \( x = 2 \):
    \[ P_4(x) = \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^2}(x-2) + \frac{1}{2e^2}(x-2)^2 - \frac{1}{6e^2}(x-2)^3 + \frac{1}{24e^2}(x-2)^4 \] \[ = \frac{x^4}{24e^2} - \frac{x^3}{2e^2} + \frac{5x^2}{2e^2} - \frac{19x}{3e^2} + \frac{7}{e^2} \]
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \implies f'(x) = \frac{1}{2}\cos(x/2), \, f''(x) = -\frac{1}{4}\sin(x/2), \, f^{(3)}(x) = -\frac{1}{8}\cos(x/2), \, f^{(4)}(x) = \frac{1}{16}\sin(x/2) \). En \( x = \pi \):
    \[ P_4(x) = 1 - \frac{1}{8}(x-\pi)^2 + \frac{1}{384}(x-\pi)^4 \] \[ = \frac{x^4}{384} - \frac{\pi x^3}{96} - \frac{x^2}{8} + \frac{\pi^2 x^2}{64} + \frac{\pi x}{4} - \frac{\pi^3 x}{96} - \frac{48\pi^2 + \pi^4 + 384}{384} \]

Parte B

  1. \( f(x) = \cos(x+\pi/2) = -\sin(x) \implies -x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{120}x^5 + \frac{1}{5040}x^7 - \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \implies 2 + x^2 + \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{360}x^6 + \frac{1}{20160}x^8 + \dots \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \implies 1 - x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{24}x^8 + \dots \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \implies x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \frac{1}{5040}x^7 + \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \implies 2x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{2520}x^7 + \frac{1}{181440}x^9 + \dots \)

Parte C

Para \( f(x) = \sin(x)e^x \) en \( x = 0 \):

\[ P_5(x) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 \]
Gráficas del polinomio de Taylor P_5(x) y la función sin(x)e^x
Figura 4. Comparación de \( \sin(x)e^x \) y su polinomio de Taylor \( P_5(x) \)

Más referencias y enlaces

  1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  4. Calculadora de series de Taylor en línea
  5. Introducción a los polinomios
  6. Tutorial de series de Fourier
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