Series de Taylor y Maclaurin con Ejemplos

El uso de las series de Taylor y Maclaurin para expandir y aproximar funciones como una serie de potencias en valores dados de \( x \) se presenta aquí. Estas series proporcionan útiles aproximaciones polinómicas de las funciones generadoras, que son más fáciles de programar en calculadoras. Se incluyen ejemplos y preguntas con sus soluciones.

Definición de las Series de Taylor y Maclaurin

Para una función \( f \) con derivadas de todos los órdenes definidas en un intervalo que contiene a \( a \), la serie de Taylor de la función \( f \) en \( x = a \) viene dada por [1] \[ \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + ... \] donde \( f'(a), f''(a), ... , f^{(n)}(a) ... \) son las derivadas de \( f \) evaluadas en \( x = a\) La serie de Maclaurin de la función \( f \) es la serie de Taylor en \( x = 0 \) y viene dada por \[ \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \]
Las series de Taylor y Maclaurin son infinitas, pero pueden truncarse a \( n \) términos, de modo que la serie de Taylor se convierte en un polinomio de Taylor dado por \[ P_n(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]
Una calculadora de series de Taylor en línea está disponible y puede usarse para verificar muchos de los ejemplos y ejercicios presentados a continuación, y también para generar y comprobar muchos otros problemas.

Ejemplos de Expansión en Series de Taylor y Maclaurin

Ejemplo 1
a) Encuentra el polinomio de Taylor \( P_4(x) \) (de orden 4) generado por \( f(x) = \sin(x) \) en \( x = \pi/2 \).
b) Usa una calculadora gráfica para representar \( \sin(x) \) y \( P_4(x) \) en un intervalo que contenga \( \pi/2 \) y compara las dos gráficas.
solución
a)
La serie de Taylor de orden 4 de \( f \) viene dada por
\( P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(\pi/2)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \)
Calcula las primeras 4 derivadas de \( f \)
\( f(x) = \sin(x) \),   \( f'(x) = \cos(x) \),   \( f''(x) = -\sin(x) \),
\( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \)   \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \)
Evalúa \( f \) y sus primeras 4 derivadas en \( x = \pi/2 \)
\( f(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \)  ,  \( f'(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0 \),
\( f''(\pi/2) = - \sin(\pi/2) = -1 \), \( f^{(3)}(\pi/2) = -\cos(\pi/2) = 0 \)   ,  
\( f^{(4)}(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \),

Sustituye en \( P_4(x) \) dado arriba
\( P_4(x) = f(a) + f'(a) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \\ \quad = 1 - \dfrac{1}{2} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{1}{24} (x- \pi/2)^4\)
b)
Comparando las gráficas de \( \sin(x) \) y su serie de Taylor de orden \( 4 \), las dos gráficas están muy cerca, por lo tanto \( P_4(x) \) puede usarse para aproximar \( \sin(x) \) dentro de un intervalo que contenga \( \pi/2 \).

Ejemplo 2
a) Encuentra el polinomio de Taylor \( P_5(x) \) (de orden 5) generado por \( f(x) = \ln(x) \) en \( x = 1 \).
b) Usa una calculadora gráfica para representar \( \ln(x) \) y \( P_5(x) \) en un intervalo que contenga \( 1 \) y compara las dos gráficas.
c) Evalúa \( P_5(x) \) y \( \ln(x) \) en la tabla siguiente y compara los valores correspondientes.

Ejemplo 3
a) Encuentra la serie de Maclaurin generada por \( f(x) = e^x \).
b) Usa una calculadora gráfica para representar la serie de Maclaurin en un intervalo que contenga \( 0 \) con 2, 3, 4, 5 y 6 términos.

solución
a)
La serie de Maclaurin de \( f \) viene dada por
\( \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
Calcula las derivadas de \( f(x) = e^x\)
\( f(x) = e^x \),   \( f'(x) = e^x \),   \( f''(x) = e^x \),
\( f^{(n)}(x) = e^x \) para todo \( n \ge 3\)
Evalúa la función y sus derivadas en \( x = 0 \)
\( f(0) = 1 \),   \( f'(0) = 1 \),   \( f''(0) = 1 \),
\( f^{(n)}(0) = 1 \) para todo \( n \ge 3\)
Sustituye en la serie anterior para obtener la serie de Maclaurin de \( f(x) = e^x \)
\( 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + ... + \dfrac{1}{n!} x^n + ... \)
b)
Las series de Maclaurin con 2, 3, 4, 5 y 6 términos vienen dadas por
\( P_1(x) = 1 + x \)
\( P_2(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 \)
\( P_3(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 \)
\( P_4(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4\)
\( P_5(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4 + \dfrac{1}{120} x^5 \)
Los cinco polinomios anteriores se representan a continuación junto con la función dada \( f(x) = e^x \). Observamos que las aproximaciones alrededor de \( x = 0 \) mejoran a medida que aumenta el número de términos en la serie.

Preguntas

Parte A
Encuentra el polinomio de Taylor de orden \( 4 \) generado por \( f \) en el valor dado de \( x \)
a) \( f(x) = e^{-x} \), en \( x = 2 \)
b) \( f(x) = \sin(x/2) \), en \( x = \pi \)

Parte B
Encuentra la serie de Maclaurin para las funciones
a) \( f(x) = \cos(x+\pi/2) \)
b) \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
c) \( f(x) = e^{-x^2} \)
d) \( f(x) = \sin(x) \)
e) \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

Parte C
Encuentra el polinomio de Taylor de orden \( 5 \) generado por \( f(x) = \sin(x) e^x \) en \( x = 0 \) y representa gráficamente \( f \) y el polinomio de Taylor en el mismo sistema de coordenadas.

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Parte A
a)
\( P_4(x) = f(2) + f'(2) (x-2) + \dfrac{f''(2)}{2!} (x-2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(2))}{3!} (x- 2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(2))}{4!} (x- 2)^4 \)

\( f(x) = e^{-x} \), \( f'(x) = - e^{-x} \), \( f''(x) = e^{-x} \), \( f^{(3)}(x) = - e^{-x} \), \( f^{(4)}(x) = e^{-x} \)

\( P_4(x) = \quad \dfrac{1}{e^2}-\dfrac{1}{e^2}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{2e^2}\left(x-2\right)^2-\dfrac{1}{6e^2}\left(x-2\right)^3+\dfrac{1}{24e^2}\left(x-2\right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{24e^2}-\dfrac{x^3}{2e^2}+\dfrac{5x^2}{2e^2}-\dfrac{19x}{3e^2} + \dfrac{7}{e^2} \)

b)

\( P_4(x) = f(\pi ) + f'(\pi ) (x-\pi ) + \dfrac{f''(\pi )}{2!} (x-\pi )^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi ))}{3!} (x- \pi )^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi ))}{4!} (x- \pi )^4 \)

\( f(x) = \sin(x/2) \), \( f'(x) = \dfrac{1}{2} \cos(x/2) \), \( f''(x) = - \dfrac{1}{4} \sin(x/2) \), \( f^{(3)}(x) = - \dfrac{1}{8} \cos(x/2) \), \( f^{(4)}(x) = \dfrac{1}{16} \cos(x/2) \)

\( P_4(x) = 1-\dfrac{1}{8}\left(x-\pi \right)^2+\dfrac{1}{384}\left(x-\pi \right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{384}-\dfrac{\pi x^3}{96}-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{\pi ^2x^2}{64}+\dfrac{\pi x}{4}-\dfrac{\pi ^3x}{96}-\dfrac{48 \pi ^2+\pi ^4+384}{384} \)

Parte B
Las series de Maclaurin vienen dadas por: \( \quad f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
a)
\( f(x) = \cos(x+\pi/2) \), \( f'(x) = - \sin(x+\pi/2) \), \( f''(x) = - \cos(x+\pi/2) \), \( f^{(3)}(x) = \sin(x+\pi/2) \) ...
Serie de Maclaurin
\( -x+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{120}x^5+\dfrac{1}{5040}x^7-\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

b)
\( f(x) = e^x + e^{-x} \), \( f'(x) = e^x - e^{-x} \), \( f''(x) = e^x + e^{-x} \), \( f^{(3)}(x) = e^x - e^{-x} \) ...
Serie de Maclaurin
\( 2+x^2+\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{360}x^6+\dfrac{1}{20160}x^8+ \ldots \:\)

c)
\( f(x) = e^{-x^2} \), \( f'(x) = -2e^{-x^2}x \), \( f''(x) = -2\left(-2e^{-x^2}x^2+e^{-x^2}\right) \), \( f^{(3)}(x) = -2\left(4e^{-x^2}x^3-6e^{-x^2}x\right) \)
Serie de Maclaurin
\( 1-x^2+\dfrac{1}{2}x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\dfrac{1}{24}x^8+\ldots \: \)

d)
\( f(x) = \sin(x) \), \( f'(x) = \cos(x) \), \( f''(x) = -\sin(x) \), \( f^{(3)}(x) = - \cos(x) \), ...
Serie de Maclaurin
\( x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^5-\dfrac{1}{5040}x^7+\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

e)
\( f(x) = e^x - e^{-x} \), \( f'(x) = e^x + e^{-x} \), \( f''(x) = e^x - e^{-x} \), \( f^{(3)}(x) = e^x + e^{-x} \) ...
Serie de Maclaurin
\( 2x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{60}x^5+\dfrac{1}{2520}x^7+\dfrac{1}{181440}x^9+\ldots \)

Parte C
\( P_5(x) = x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{30}x^5 \)

Más Referencias y Enlaces