Series convergentes y divergentes

Definición de series

Sea \( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \) una sucesión infinita. La suma infinita: \[ a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots \] se llama serie [1] [2].

La serie también se puede escribir usando el símbolo de sumatoria \( \displaystyle \sum \) como: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]

Nota que cuando el límite superior de la suma es infinito como en \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \), tenemos una serie, y cuando el límite superior de la suma es finito como en \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \), tenemos una suma parcial.

Series convergentes y divergentes

Primero discutimos la convergencia y divergencia de series utilizando gráficas y dos ejemplos.

Ejemplo 1 - Serie convergente

Sea \( a_i = \dfrac{1}{4^i} \) y definamos las sumas parciales como: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \]

La tabla de valores de \( n \), \( a_n \) y las sumas finitas \( s_n \) definidas por:

se muestran a continuación. Nota que a medida que agregamos más términos a la suma parcial \( s_n \), esta se acerca más al valor \( 2 \), como se muestra claramente en la Tabla 1 y la Gráfica 1 a continuación.

A medida que \( n \) aumenta, la suma parcial \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) tiende a un valor constante igual a \( 2 \). Por lo tanto, podemos decir que la serie \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \) es convergente a \( 2 \).

Ejemplo 2 - Serie divergente

Sea \( a_i = (-2)^i \) y definamos las sumas parciales como: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \]

A continuación se muestra la tabla de valores de \( n \), \( a_n \) y las sumas finitas \( s_n \). A medida que agregamos más términos, ni la Tabla 2 ni la Gráfica 2 muestran convergencia a ningún valor. La suma parcial no tiene límite, y consideramos que la serie \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \) es divergente.

Definición formal de series convergentes y divergentes

Dada una serie: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \] Sea \( S_n \) la suma parcial: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

Si \( \lim_{n\to\infty} S_n \) existe y: \[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \] donde \( s \) es un número real, decimos que la serie \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) es convergente y escribimos: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = s \]

Si \( \lim_{n\to\infty} S_n \) no existe o no es un número real, la serie \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) es divergente. También podemos escribir: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

Series geométricas

Una serie geométrica se define como: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a \, r^{i-1} = a + a \, r + a \, r^2 + \dots \] donde \( r \) se llama la razón común.

Sea \( S_n \) la suma parcial definida por: \[ S_n = a + a \, r + a \, r^2 + \dots + a \, r^{n-1} \quad (I) \] Multiplica ambos lados por \( r \): \[ r \, S_n = a \, r + a \, r^2 + a \, r^3 + \dots + a \, r^n \quad (II) \] Resta (II) de (I): \[ S_n - r \, S_n = a(1 - r^n) \implies S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

Se sabe a partir de los límites que \( \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \) si \( |r| < 1 \). Por lo tanto, establecemos:

Ejemplo 3 - Serie geométrica

¿Cuáles de las siguientes series geométricas son convergentes? Halla la suma si es posible.

1. \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \)
2. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2i}}{10^{i-1}} \)
3. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \)

Soluciones al ejemplo 3

1. La serie \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \) tiene razón común \( r = \dfrac{-\frac{12}{5}}{4} = -\dfrac{3}{5} \).
   Dado que \( |r| = \dfrac{3}{5} < 1 \), la serie es convergente.
   Con el primer término \( a = 4 \), la suma es: \[ \sum = \frac{4}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{4}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{4}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{2} \]
2. Reescribe la serie: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^{2i}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(3^2)^i}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9 \cdot 9^{i-1}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\frac{9}{10}\right)^{i-1} \] Primer término \( a = 9 \), razón común \( r = \dfrac{9}{10} < 1 \). La serie es convergente: \[ \sum = \frac{9}{1 - \frac{9}{10}} = 90 \]
3. Reescribe la serie: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5^{-i} \, 2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^2}{5^1} \cdot \frac{5^i}{2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{5^{i-1}}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{5}{2}\right)^{i-1} \] La razón común es \( r = \dfrac{5}{2} > 1 \), por lo tanto la serie es divergente.

Las series aritméticas son divergentes

Una serie aritmética está dada por: \[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i-1)d) = a + (a + d) + (a + 2d) + \dots \] La suma parcial \( S_n \) es: \[ S_n = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2} = \frac{nd}{2}n + n\left(a - \frac{d}{2}\right) \] Dado que \( \lim_{n\to\infty} S_n = \infty \), todas las series aritméticas son divergentes.

Teorema de combinaciones de series convergentes

Si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1 \) y \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2 \) son series convergentes, y \( k_1, k_2 \) son números reales, entonces cualquier combinación lineal es convergente: \[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]

Ejemplo 4

Evalúa, si es posible, las siguientes series:

1. \( \left(2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dots\right) + \left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \dots\right) \)
2. \( -3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{i-1} - 4 \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} \)
3. \( \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^i + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^i - 7 \cdot 2^i}{5^{i-1}} \)

Soluciones al ejemplo 4

1. Primera serie: \( A_1 = 2, R_1 = -\dfrac{1}{2} \implies \dfrac{2}{1 - (-1/2)} = \dfrac{4}{3} \).
   Segunda serie: \( A_2 = -\dfrac{1}{3}, R_2 = -\dfrac{1}{3} \implies \dfrac{-1/3}{1 - (-1/3)} = -\dfrac{1}{4} \).
   Suma = \( \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12} \).
2. Primera serie: \( A_1 = 1, R_1 = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2 \).
   Segunda serie: \( A_2 = 1, R_2 = 0.7 \implies \dfrac{1}{1 - 0.7} = \dfrac{10}{3} \).
   Suma total = \( -3(2) - 4\left(\dfrac{10}{3}\right) = -6 - \dfrac{40}{3} = -\dfrac{58}{3} \).
3. Reescribe como una combinación de series geométricas: \[ 0.2 \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^{i-1} + 3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{i-1} - 14 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{i-1} \] Evaluando cada suma: \[ 0.2\left(\frac{1}{1-0.2}\right) + 3\left(\frac{1}{1-3/5}\right) - 14\left(\frac{1}{1-2/5}\right) = \frac{1}{4} + \frac{15}{2} - \frac{70}{3} = -\frac{187}{12} \]

Más referencias y enlaces

1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
2. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
3. Sucesiones y sumatorias
4. Introducción a los límites
5. Página Principal