La convergencia y divergencia de las series se presentan con ejemplos y sus soluciones detalladas.
Definición de Serie
Sea \( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \) una sucesión infinita. La suma infinita
\[ a_1 + a_2 + a_3 + ... + \; a_n \; + ... \]
se llama una serie. [1] [2]
La serie también puede escribirse usando el símbolo \( \displaystyle \sum \) como
\[ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]
Nota que cuando el límite superior de la suma es infinito como en \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \), tenemos una serie y cuando el límite superior de la suma es finito como en \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \), tenemos una suma parcial .
Series Convergentes y Divergentes
Primero discutimos la convergencia y la divergencia de series usando gráficas en dos ejemplos.
Ejemplo 1 - Serie Convergente
Sea \( a_i = \dfrac{1}{4^i} \) y define las sumas parciales como
\( \displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)
La tabla de valores de \( n \), \( a_n \), las sumas finitas \( s_n \) definidas por
\begin{aligned}
& s_1 = a_1\\
& s_2 = a_1+a_2\\
& s_3 = a_1 + a_2 + a_3\\
& s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4\\
\end{aligned}
se muestran a continuación.
Nota que a medida que agregamos más términos a la suma parcial \( s_n \), esta se acerca más a \( 2 \) y eso es claro en la Tabla.1 y la Gráfica.1 a continuación.
Tabla.1 - Tabla de Valores de \(n , a_n\) y las Sumas Parciales \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)
La gráfica de \( s_n \) para \( n=1, 2, 3... \) contra \( n \) se muestra a continuación y notamos que a medida que \( n \) aumenta, \( s_n \) tiende a un valor constante igual a \( 2 \).
Gráfica.1 - Gráfica de las Sumas Parciales \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)
Se puede decir que a medida que \( n \) aumenta, la suma parcial \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) tiende a \( 2 \) o tiene un límite igual a \( 2 \) y, por lo tanto, podríamos pensar en la serie \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \) como convergente a \( 2 \).
Ejemplo 2 - Serie Divergente
Sea \( a_i = (-2)^i \) y define las sumas parciales como
\( S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \)
A continuación se muestra la tabla de valores de \( n \), \( a_n \), las sumas finitas \( s_n \).
A medida que agregamos más términos a la suma parcial \( s_n \), ni los valores en la Tabla.2 ni la Gráfica.2 muestran convergencia a algún valor.
Se puede decir que a medida que \( n \) aumenta, la suma parcial \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \) no tiene límite y, por lo tanto, podríamos pensar en la serie \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \) como divergente .
Tabla.2 - Tabla de Valores de las Sumas Parciales \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \)
Gráfica.2 - Gráfica de las Sumas Parciales \( \displaystyle \sum (-2)^i \)
Definición Formal de Series Convergentes y Divergentes
Dada una serie
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... \]
Sea \( S_n \) la suma parcial
\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + ... + a_n
\]
Si \( \lim_{n\to\infty} S_n \) existe y
\[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \]
donde \( s \) es un número real; decimos que la serie \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) es convergente y escribimos
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 +..... = s \]
Si \( \lim_{n\to\infty} S_n \) no existe o no es un número real, la serie \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) es divergente.
También podemos escribir que
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]
Serie Geométrica
La serie geométrica se define de la siguiente manera
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a \; r^{i-1} = a + a \; r + a \; r^2 +.... \]
donde \( r \) se llama la razón común.
Sea \( S_n \) la suma parcial definida por
\[ S_n = a + a \; r + a \; r^2 + ... + a \; r^{n-1} \quad (I) \]
Multiplica ambos lados de lo anterior por la razón común \( r \) para obtener
\[ r \; S_n = a \; r + a \; r^2 + a \; r^3 + ... + a \; r^n \quad (II) \]
Resta lado a lado (I) y (II) arriba para obtener
\[ S_n - r \; S_n = (a + a \; r + a \; r^2 + ... + a \; r^{n-1}) - (a \; r + a \; r^2 + a \; r^3 + ... + a \; r^n) \]
Simplifica el lado derecho y factoriza ambos lados
\[ S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \]
Resuelve lo anterior para \( S_n \)
\[ S_n = \dfrac{a(1 - r^n) }{1 - r} \]
Se sabe por límites que \( \quad \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \) si \( \quad |r| \lt 1 \)
Por lo tanto, podemos establecer lo siguiente:
Una serie geométrica dada por
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = a + a r + a r^2 + ... \]
es convergente si la razón común \( r \) es tal que \( |r| \lt 1 \) y su suma está dada por
\[ \boxed { \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = \dfrac{ a }{1 - r} \quad , \quad |r| \lt 1 } \qquad (III)\]
Si \( |r| \ge 1 \) la serie geométrica es divergente.
Ejemplo 3 - Serie Geométrica
¿Cuáles de las siguientes series geométricas son convergentes? Encuentra la suma si es posible.
La serie \[ 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{ 25} - \dfrac{108}{125} ... \] tiene la razón común \( r = \dfrac{- \dfrac{12}{5}}{4} = - \dfrac{3}{5} \)
\( |r| = \dfrac{3}{5} \) y dado que \( |r| \lt 1 \) la serie dada es convergente.
El primer término de la serie es \( a = 4 \) y usando la fórmula (III), obtenemos
\[ 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{ 25} - \dfrac{108}{125} ... = \dfrac{4}{1 + \dfrac{3}{5} } = \dfrac{5}{2} \]
Reescribe la serie dada como
\[
\begin{aligned}
& \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2 i}}{10^{i -1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{(3^2)^i} {10^{i-1}}\\[15pt]
& \text {Reescribe el numerador de la siguiente manera} \\[15pt]
& = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{(3^2) (3^2)^{i-1}} {10^{i-1}}\\[15pt]
& \text {que puede escribirse como} \\[15pt]
& = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\dfrac{9}{10}\right)^{i-1}\\[15pt]
\end{aligned}
\]
El primer término \( a = 9 \) y la razón común \( r = \dfrac{9}{10} \), por lo tanto \( |r| \lt 1 \) y la serie es convergente y está dada por
\[ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2 i}}{10^{i -1}} = \dfrac{9}{1 - \dfrac{9}{10}} = 90 \]
\[
\begin{aligned}
& \text{Reescribe la serie con potencias de \( 2 \) y \( 5 \)} \\[15pt]
& \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{2^2}{5^1}\cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \\[15pt]
& \text{Simplifica las potencias con la misma base y escribe con potencias positivas} \\[15pt]
& = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{5^{i - 1}}{ 2^{i-1}} \\[15pt]
& \text{Reescribe como} \\[15pt]
& = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{5}{2}\right)^{i - 1} \\[15pt]
\end{aligned} \]
La razón común de la serie geométrica dada \( r = \dfrac{5}{2} \) y por lo tanto \( |r| \gt 1 \), de ahí que la serie sea divergente.
Las Series Aritméticas son Divergentes
Una serie aritmética está dada por
\[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i - 1) d) = a + (a + d) + (a + 2 d) + ... \]
Sea
\( S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (a + (i - 1) d ) \)
Por lo tanto
\( S_n = a + (a + d) + (a + 2 d) + ... + (a + (n-1)d ) \qquad (I) \)
Reescribe \( S_n \) invirtiendo el orden, desde el último término hasta el primer término, en la suma anterior.
\( S_n = (a + (n-1)d ) + (a + (n-2)d ) + (a + (n-3)d ) + ... (a+d) + a ) \qquad (II) \)
Nota que:
1) sumando el primer término en (I) y (II), obtenemos \( a + (a + (n-1)d ) = 2 a + (n-1) d \)
2) Sumando el segundo término en (I) y (II), obtenemos \( a + d + (a + (n-2)d ) = 2 a + (n-1) d \)
3) Sumando el tercer término en (I) y (II), obtenemos \( a + 2 d + (a + (n-3)d ) = 2 a + (n-1) d \)
Observando que hay \( n \) términos en los lados derechos de (I) y (II) y sumando (I) y (II) término a término obtenemos
\( 2 S_n = n ( 2 a + (n-1) d ) \)
y
\[ S_n = \dfrac{ n ( 2 a + (n-1) d )}{2} \]
Expande el numerador y escribe
\[ S_n = \dfrac{n^2 d}{2} + n (a - \dfrac{d}{2} ) \]
Nota que
\[ \lim_{n\to\infty} \left( \dfrac{n^2 d}{2} + n (a - \dfrac{d}{2} ) \right) = \infty \]
y por lo tanto todas las series aritméticas son divergentes.
Teorema de Combinaciones de Series Convergentes
Si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) y \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) son series convergentes tales que \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1\) y \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2\) y \( k_1 \) y \( k_2 \) son números reales, entonces cualquier combinación lineal de las series dadas de la forma
\[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n \]
es convergente y está dada por
\[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]
\[
\begin{aligned}
& \text{La serie \( 2 - 1 + \dfrac{1}{ 2} - \dfrac{1}{4} + ... \) es geométrica con primer término \(A_1 = 2\) y razón común \( R_1 = - \dfrac{1}{ 2} \) y es, por lo tanto, convergente ya que \( |R_1| \lt 1 \).}\\[15pt]
& \text{La serie \( - \dfrac{1}{ 3} + \dfrac{1}{ 9} - \dfrac{1}{ 27} + ... \) es geométrica con primer término \(A_2 = - \dfrac{1}{ 3} \) y razón común \( R_2 = - \dfrac{1}{ 3} \) y es convergente ya que \( |R_2| \lt 1 \).}\\[15pt]
& \text{Usa la fórmula (III) para cada serie y el teorema de la combinación anterior para escribir} \\[15pt]
& (2 - 1 + \dfrac{1}{ 2} - \dfrac{1}{4} + ...) + ( - \dfrac{1}{ 3} + \dfrac{1}{ 9} - \dfrac{1}{ 27} + ... ) = \dfrac{A_1}{1 - R_1 } + \dfrac{A_2}{1 - R_2} \\[15pt]
& \text{Sustituye \( A_1, A_2, R_1\) y \( R_2 \) por sus valores}\\[15pt]
& = \dfrac{2}{1 + \dfrac{1}{ 2} } + \dfrac{- \dfrac{1}{ 3}}{1 + \dfrac{1}{ 3} } \\[15pt]
& \text{Simplifica} \\[15pt]
& = \dfrac{13}{12}
\end{aligned} \]
\[
\begin{aligned}
& \text{Las series \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^{i-1} \) y \( \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} \) tienen primeros términos \(A_1 = 1 \) y \(A_2 = 1 \) y razones comunes \(R_1 = \dfrac{1}{2} \) y \(R_2 = 0.7 \) }\\[15pt]
& \text{Ambas razones comunes tienen valores absolutos menores que \( 1 \) y, por lo tanto, las dos series son convergentes.} \\[15pt]
& \text{Usa la fórmula (III) para cada serie y el teorema de la combinación anterior para obtener} \\[15pt]
& - 3 \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^{i-1} - 4 \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} = - 3 \dfrac{A_1}{1-R_1} - 4 \dfrac{A_2}{1 - R_2} \\[15pt]
& \text{Sustituye} \\[15pt]
& = - 3 \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} - 4 \dfrac{1}{1 - 0.7} \\[15pt]
&\text{Simplifica} \\[15pt]
& = -\dfrac{58}{3}
\end{aligned} \]
\[
\begin{aligned}
& \text{Dado} \\[15pt]
& \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left(0.2 \right)^i + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{(3^i - 7 \cdot 2^i)}{5^{i-1}} \\[15pt]
& \text{Reescribe la expresión dada como una combinación de tres series geométricas de la siguiente manera}\\[15pt]
& = 0.2 \sum_{i=1}^{\infty} \left(0.2 \right)^{i-1} + 3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{3}{5}\right)^{i-1} - 14 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{5} \right)^{i-1} \\[15pt]
& \text{Identifica las tres series geométricas \( \sum_{i=1}^{\infty} \left(0.2 \right)^{i-1} \), \( \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{3}{5}\right)^{i-1} \) y \( \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{5} \right)^{i-1} \) como que tienen el }\\[15pt]
& \text{primer término igual a \( 1 \) y las razones comunes iguales a \( 0.2 , \; \dfrac{3}{5} , \; \dfrac{2}{5} \) respectivamente. } \\[15pt]
& \text{Las tres series geométricas tienen razones cuyos valores absolutos son menores que \( 1 \) y, por lo tanto, son convergentes. } \\[15pt]
& \text{Usa la fórmula (III) para cada serie y el teorema de la combinación anterior, para obtener } \\[15pt]
& = 0.2 \dfrac{1}{1-0.2} + 3 \dfrac{1}{1 - \dfrac{3}{5}} - 14 \dfrac{1}{1-\dfrac{2}{5}} \\[15pt]
& \text{Simplifica} \\[15pt]
& = -\frac{187}{12}
\end{aligned} \]
Más Referencias y Enlaces
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
