Se presentan tutoriales sobre series de Fourier. En la primera parte, se utiliza un ejemplo para mostrar cómo se calculan los coeficientes de Fourier, y en la segunda parte, puedes usar una aplicación interactiva para explorar más a fondo las series de Fourier de la misma función.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Series y coeficientes de Fourier
Las series de Fourier se pueden utilizar para representar funciones periódicas como una combinación lineal de funciones seno y coseno. Si \( f(t) \) es una función periódica de periodo \( T \), entonces bajo ciertas condiciones, su serie de Fourier está dada por:
\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right)\right] \]donde \( n = 1, 2, 3, \ldots \) y \( T \) es el periodo de la función \( f(t) \). \( a_n \) y \( b_n \) se llaman coeficientes de Fourier y están dados por:
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt \] \[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Ejemplo 1
Halla la serie de Fourier de la función periódica \( f(t) \) definida por:
\[ f(t) = \begin{cases} 1, & \text{para } 0 \leq t < T/2 \\ -1, & \text{para } T/2 \leq t < T \end{cases} \].gif)
Mostrar solución al ejemplo 1
El coeficiente \( a_0 \) está dado por:
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} (1) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \, dt \]El coeficiente \( a_n \) está dado por:
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]El coeficiente \( b_n \) está dado por:
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Al calcular las integrales se obtiene:
\[ a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad \text{y } b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) \]Nota que \( \cos(n\pi) = (-1)^n \), lo que significa que \( b_n = 0 \) siempre que \( n \) sea par.
Por lo tanto, la serie de Fourier para \( f(t) \) es:
\[ f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]Tutorial interactivo sobre series de Fourier
Para fines de cálculo numérico, no podemos incluir un número infinito de términos. Por lo tanto, definimos una función de suma parcial \( f_N(t) \) con un número limitado de términos \( N \):
\[ f_N(t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]La aplicación a continuación se puede utilizar para explorar la serie de Fourier de \( f(t) \) resuelta en el Ejemplo 1. Aumenta \( N \) para ver cómo la gráfica de \( f_N(t) \) (en azul) converge a la gráfica de \( f(t) \) (en rojo).
Los valores predeterminados son \( N = 5 \) y \( T = 4 \). Cambia \( N \) y \( T \) y haz clic en el botón para actualizar la gráfica.
Coloca el cursor del ratón sobre la gráfica o el punto trazado para leer las coordenadas.