Diferenciabilidad de Funciones por Partes - Parte (4)
Estas preguntas de cálculo se centran en la diferenciabilidad de funciones.
Cada problema se resuelve paso a paso utilizando teoremas fundamentales de continuidad y derivadas.
Teoremas
Teorema 1.
Si una función \( f \) es diferenciable en \( x = a \), entonces \( f \) es continua en \( x = a \).
Contrapositiva.
Si \( f \) no es continua en \( x = a \), entonces \( f \) no es diferenciable en \( x = a \).
Teorema 2.
Si \( f \) es continua en \( x = a \) y
\[
\lim_{x \to a^+} f'(x) = \lim_{x \to a^-} f'(x),
\]
entonces \( f \) es diferenciable en \( x = a \) y
\[
f'(a) = \lim_{x \to a^+} f'(x) = \lim_{x \to a^-} f'(x).
\]
Pregunta 1
Determina si la función
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x^2, & x \le 1 \\
2\sqrt{x}, & x > 1
\end{cases}
\]
es diferenciable en \( x = 1 \).
Solución
-
Evaluar la continuidad en \( x = 1 \):
\[
f(1) = 2(1)^2 = 2
\]
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2, \quad
\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2
\]
-
Dado que los límites son iguales a \( f(1) \), la función es continua en \( x = 1 \).
-
Calcular derivadas:
\[
f'(x) = 4x \quad (x < 1), \qquad
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \quad (x > 1)
\]
-
Evaluar los límites de las derivadas:
\[
\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 4, \quad
\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1
\]
-
Como los límites no son iguales, \( f'(1) \) no existe.
La función no es diferenciable en \( x = 1 \).
Pregunta 2
Sea
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^3, & x \le 0 \\
x^3 + 1, & x > 0
\end{cases}
\]
Demuestra que aunque
\[
\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} f'(x),
\]
la derivada \( f'(0) \) no existe.
Solución
-
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \quad
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1
\]
-
La función no es continua en \( x = 0 \), por lo tanto no es diferenciable allí.
-
Para todo \( x \neq 0 \):
\[
f'(x) = 3x^2
\]
-
\[
\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0
\]
-
Aunque los límites de las derivadas coincidan, \( f'(0) \) no existe debido a la discontinuidad.
Pregunta 3
Encuentra las constantes \( A \) y \( B \) tales que
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x^2, & x \le 2 \\
Ax + B, & x > 2
\end{cases}
\]
sea diferenciable en \( x = 2 \).
Solución
-
Continuidad en \( x = 2 \):
\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = 8, \quad
\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2A + B
\]
-
\[
2A + B = 8
\]
-
Derivadas:
\[
f'(x) = 4x \ (x<2), \quad f'(x) = A \ (x>2)
\]
-
\[
\lim_{x \to 2^-} f'(x) = 8, \quad
\lim_{x \to 2^+} f'(x) = A
\]
-
Por lo tanto \( A = 8 \) y \( B = -8 \).
Pregunta 4
Encuentra todos los valores de \( x \) para los cuales
\[
f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 1}
\]
no es diferenciable.
Solución
-
\[
f(x) = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|
\]
-
\[
f(x) =
\begin{cases}
x - 1, & x > 1 \\
-(x - 1), & x < 1
\end{cases}
\]
-
La función es continua en \( x = 1 \).
-
Derivadas:
\[
f'(x) = 1 \ (x<1), \quad f'(x) = -1 \ (x>1)
\]
-
Los límites de las derivadas difieren, por lo que \( f \) no es diferenciable en \( x = 1 \).
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