Funciones Compuestas: Preguntas con Soluciones Detalladas

Esta página presenta una selección cuidadosamente elegida de preguntas sobre la composición de funciones, cada una seguida de una solución clara y detallada. El objetivo es fortalecer la comprensión conceptual y mejorar las habilidades de cálculo.

Pregunta 1

Sean $f(x) = 2x + 3$ y $g(x) = -x^2 + 1$. Encuentra la función compuesta $(f \circ g)(x)$.

Solución

Por definición, \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)). \] Sustituye $g(x)$ en $f$: \[ (f \circ g)(x) = 2(-x^2 + 1) + 3 = -2x^2 + 5. \]

Pregunta 2

Dado $f(2)=3$, $g(3)=2$, $f(3)=4$ y $g(2)=5$, evalúa $(f \circ g)(3)$.

Solución

\[ (f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(2) = 3. \]

Pregunta 3

Sean \[ f(x) = \sqrt{x+2}, \quad g(x) = \ln(1 - x^2). \] Encuentra $(g \circ f)(x)$ y determina su dominio.

Solución

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \ln\!\bigl(1 - (\sqrt{x+2})^2\bigr) = \ln(-x - 1). \]

Dominio:

El dominio es la intersección de los conjuntos anteriores: \[ [-2,-1). \]

Pregunta 4

Sean \[ f = \{(-2,1),(0,3),(4,5)\}, \quad g = \{(1,1),(3,3),(7,9)\}. \] Encuentra $g \circ f$, y establece su dominio y rango.

Solución

\[ (g \circ f)(-2) = g(1) = 1, \quad (g \circ f)(0) = g(3) = 3. \] \[ (g \circ f)(4) = g(5) \text{ no está definido.} \]

\[ g \circ f = \{(-2,1),(0,3)\} \]

Dominio: $\{-2,0\}$ Rango: $\{1,3\}$

Pregunta 5

Sea $f(x)=\ln x$. Encuentra la derivada de \[ F(x) = (f \circ f)(x). \]

Solución

\[ F(x) = \ln(\ln x). \] Usando la regla de la cadena: \[ F'(x) = \frac{1}{x\ln x}. \]

Pregunta 6

Escribe \[ F(x) = |4x^2 + 2x - 5| \] como la composición de dos funciones.

Solución

Una posible elección: \[ g(x) = 4x^2 + 2x - 5, \quad f(x) = |x|. \] Entonces: \[ F(x) = f(g(x)). \]

Pregunta 7

Dado $g(x)=\dfrac{1}{x}$ y \[ F(x) = \frac{1/x}{1+x}, \] escribe $F$ como una función compuesta.

Solución

Sea: \[ f(x) = \frac{x}{1 + 1/x}. \] Entonces: \[ F(x) = f(g(x)). \]

Pregunta 8

Sean \[ f(x)= \begin{cases} x, & x<0 \\ x^2, & x\ge 0 \end{cases} \quad\text{y}\quad g(x)=\sqrt{x}. \] Encuentra $g(f(x))$.

Solución

\[ g(f(x)) = x \quad \text{para } x \ge 0. \]

Pregunta 9

Verdadero o Falso: $f(g(x)) = g(f(x))$ para todas las funciones $f$ y $g$.

Solución

Falso. Ejemplo: \[ f(x)=x+1,\quad g(x)=x^2. \] \[ f(g(x))=x^2+1,\quad g(f(x))=(x+1)^2. \]

Pregunta 10

Evalúa $f(g(h(1)))$ si \[ h(x)=-|x|,\quad g(x)=x-1,\quad f(x)=\frac{1}{x+2}. \]

Solución

\[ h(1)=-1,\quad g(-1)=-2. \] \[ f(-2) \text{ no está definido.} \]

Por lo tanto, $f(g(h(1)))$ no está definido.

Ejercicios

  1. Evalúa $f(g(3))$ si $f(x)=|x-6|+x^2-1$ y $g(x)=2x$.
  2. Encuentra $f$ y $g$ si $f(g(x))=2\sec(2x+1)$.
  3. Encuentra el dominio de $g\circ f$ si $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=1/x$.
  4. Encuentra el rango de $f(g(x))$ si $f(x)=x+4$ y $g(x)=x^2+2$.

Respuestas

  1. $35$
  2. $f(x)=2\sec x,\; g(x)=2x+1$
  3. $(0,\infty)$
  4. $[6,\infty)$

Más Referencias