Concavidad y Puntos de Inflexión – Preguntas de Práctica
A continuación, preguntas de práctica de cálculo con soluciones detalladas sobre
concavidad
y puntos de inflexión de gráficas de funciones.
Pregunta 1
Determina la concavidad de la gráfica de la
función cuadrática
general definida por
\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]
Solución
-
Calcula las derivadas:
\[
f'(x) = 2ax + b
\]
\[
f''(x) = 2a
\]
-
El signo de \( f''(x) \) depende solo de \( a \):
- Si \( a > 0 \), la gráfica es cóncava hacia arriba.
- Si \( a < 0 \), la gráfica es cóncava hacia abajo.
Pregunta 2
Encuentra todos los intervalos donde la función
\[
f(x) = \sin x
\]
es cóncava hacia arriba.
Solución
-
\[
f'(x) = \cos x, \qquad f''(x) = -\sin x
\]
-
La concavidad hacia arriba ocurre cuando
\[
f''(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad \sin x < 0
\]
-
En un período \( [0, 2\pi] \), esto sucede en \( (\pi, 2\pi) \).
-
Por lo tanto,
\[
(\pi + 2\pi k,\; 2\pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Pregunta 3
La gráfica de \( f'(x) \) se muestra a continuación para \( x \in [a,g] \).
¿En qué intervalos \( f \) es decreciente y cóncava hacia abajo?
Encuentra también todos los puntos de inflexión.
Solución
- \( f \) es decreciente donde \( f'(x) < 0 \).
- \( f \) es cóncava hacia abajo donde \( f'(x) \) es decreciente.
-
Decreciente y cóncava hacia abajo en:
\[
(0,d) \quad \text{y} \quad (e,g)
\]
-
Puntos de inflexión:
\[
(c,f(c)),\ (d,f(d)),\ (e,f(e)),\ (f,f(f))
\]
Pregunta 4
Encuentra todos los puntos de inflexión de
\[
f(x) = 4x^4 - x^3 + 2
\]
Solución
-
\[
f'(x) = 16x^3 - 3x^2
\]
\[
f''(x) = 48x^2 - 6x = 6x(8x - 1)
\]
-
Los cambios de signo ocurren en:
\[
x = 0, \quad x = \frac{1}{8}
\]
-
Puntos de inflexión:
\[
(0,2), \quad \left(\frac{1}{8}, \frac{2047}{1024}\right)
\]
Pregunta 5
Determina el punto de inflexión de
\[
f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1
\]
Luego encuentra el punto de inflexión de
\[
g(x) = -(x-2)^3 + 3(x-2)^2 + 1
\]
Solución
-
\[
f'(x) = -3x^2 + 6x, \quad f''(x) = -6x + 6
\]
-
\[
f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1
\]
-
Punto de inflexión de \(f\):
\[
(1,3)
\]
-
Dado que \( g(x) = f(x-2) \), la gráfica se desplaza 2 unidades a la derecha.
-
Punto de inflexión de \(g\):
\[
(3,3)
\]
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