Problemas de Derivadas con Soluciones Detalladas
Esta página presenta problemas seleccionados cuidadosamente sobre
derivadas de funciones, junto con soluciones detalladas.
El objetivo es fortalecer tanto la comprensión conceptual como la fluidez computacional en cálculo.
Pregunta 1
Sean \( f \), \( g \) y \( H \) funciones definidas tales que
\[
H(x) = (f g)(x)
\]
y
\[
f(1) = 36,\quad f'(-2) = 3,\quad f'(1) = 4,\quad g(1) = 9,\quad g'(1) = -1.
\]
Determina si la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \( H \) en \( x = 1 \)
es positiva, negativa o cero.
Solución
-
Dado que \( H(x) = f(x)g(x) \), aplicamos la regla del producto a su derivada:
\[
H'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\]
-
Evaluamos en \( x = 1 \):
\[
H'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1)
\]
-
Sustituimos los valores dados:
\[
H'(1) = (4)(9) + (36)(-1) = 36 - 36 = 0
\]
-
Dado que la derivada en \( x = 1 \) es igual a cero, la pendiente de la recta tangente es cero,
y la recta tangente es paralela al eje \( x \).
Pregunta 2
Sea
\[
f(x) = ax^2 + bx + c.
\]
Encuentra los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) tales que
\[
f(0) = 3,\quad f'(1) = 1,\quad f''(2) = 4.
\]
Solución
-
Usando \( f(0) = 3 \):
\[
a(0)^2 + b(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3
\]
-
Calculamos las derivadas:
\[
f'(x) = 2ax + b,\qquad f''(x) = 2a
\]
-
Usamos \( f''(2) = 4 \):
\[
2a = 4 \Rightarrow a = 2
\]
-
Usamos \( f'(1) = 1 \):
\[
2(2)(1) + b = 1 \Rightarrow b = -3
\]
-
La solución es:
\[
a = 2,\quad b = -3,\quad c = 3
\]
Pregunta 3
Sea \( f(x) = x^3 + x \) y sea \( g(x) = f^{-1}(x) \).
Encuentra el valor de \( g'(2) \).
Solución
-
Dado que \( g(x) = f^{-1}(x) \), tenemos:
\[
f(g(x)) = x
\]
-
Diferenciamos ambos lados usando la regla de la cadena:
\[
f'(g(x))\,g'(x) = 1
\]
-
Evaluamos en \( x = 2 \):
\[
f'(g(2))\,g'(2) = 1
\]
-
Como \( f(1) = 2 \), se sigue que \( g(2) = 1 \)
-
Calculamos \( f'(x) = 3x^2 + 1 \), por lo tanto:
\[
f'(1) = 4
\]
-
Entonces:
\[
g'(2) = \frac{1}{4}
\]
Pregunta 4
Sea \( g(x) = f^{-1}(x) \) y \( h(x) = (g(x))^5 \).
Dado que
\[
f(6) = 10,\quad f'(6) = 12,
\]
encuentra \( h'(10) \).
Solución
-
Diferenciamos \( h(x) \):
\[
h'(x) = 5g'(x)g(x)^4
\]
-
Evaluamos en \( x = 10 \):
\[
h'(10) = 5g'(10)g(10)^4
\]
-
Dado que \( g(10) = f^{-1}(10) = 6 \)
-
Diferenciamos \( f(g(x)) = x \):
\[
f'(g(x))g'(x) = 1
\]
-
Evaluamos en \( x = 10 \):
\[
f'(6)g'(10) = 1 \Rightarrow g'(10) = \frac{1}{12}
\]
-
Calculamos:
\[
h'(10) = 5\left(\frac{1}{12}\right)6^4 = 540
\]
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