Derivadas de Funciones Pares e Impares

Pregunta 1

La gráfica de una función par \(f\) se muestra a continuación:

Suponiendo que \(f\) es diferenciable en todas partes, ¿cuál de las gráficas A), B), C) o D) representa a \(f'(x)\)?

Solución:

La función dada es par, por lo tanto \[ f(x) = f(-x) \] Derivando ambos lados: \[ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}f(-x) \] Usando la regla de la cadena, sea \(u = -x\): \[ \frac{d}{dx}f(-x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (-1) = -f'(-x) \] Sustituyendo de vuelta: \[ f'(x) = -f'(-x) \quad \Rightarrow \quad f'(-x) = -f'(x) \] Esto demuestra que la derivada de una función par es impar. Analizando las gráficas A)–D), solo A) y B) son impares. Observando \(f\), decrece desde su máximo en la izquierda hasta el origen, por lo que la derivada en este intervalo debe ser negativa. Por lo tanto, la gráfica correcta es B).

Pregunta 2

La gráfica de una función impar \(f\) se muestra a continuación:

Suponiendo que \(f\) es diferenciable en todas partes, ¿cuál de las gráficas A), B), C) o D) representa a \(f'(x)\)?

Solución:

La función dada es impar, por lo tanto \[ f(x) = -f(-x) \] Derivando ambos lados: \[ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{d}{dx} f(-x) \] Usando la regla de la cadena (\(u=-x\)): \[ \frac{d}{dx}f(-x) = f'(u) \cdot \frac{du}{dx} = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x) \] Sustituyendo de vuelta: \[ f'(x) = -(-f'(-x)) = f'(-x) \] Por lo tanto, la derivada de una función impar es par. Analizando las gráficas A)–D), solo C) y D) son pares. Observando \(f\) cerca del origen, es creciente, por lo que la derivada debe ser positiva. Por consiguiente, la gráfica correcta es C).