Aprende a expresar cualquier función en términos de una función par y una impar. Se proporcionan ejemplos paso a paso en forma de preguntas con soluciones detalladas.
Demuestra que cualquier función \( f(x) \) puede expresarse como la suma de una función par y una función impar.
Podemos escribir \( f(x) \) como: \[ f(x) = \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(-x) - \frac{1}{2} f(-x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) + \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \] Sea \[ g(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) \] Verifica que \( g(x) \) es par: \[ g(-x) = \frac{1}{2} \big(f(-x) + f(x)\big) = g(x) \] Sea \[ h(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \] Verifica que \( h(x) \) es impar: \[ h(-x) = \frac{1}{2} \big(f(-x) - f(x)\big) = -h(x) \] Por lo tanto, \[ f(x) = g(x) + h(x) \] donde \( g(x) \) es par y \( h(x) \) es impar.
Expresa \[ f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 + x - 4 \] como la suma de una función par y una impar.
Dado que \( f(x) \) es un polinomio, podemos separar sus partes pares e impares: \[ f(x) = (2x^4 + 2x^2 - 4) + (-5x^3 + x) \] donde \( 2x^4 + 2x^2 - 4 \) es par y \( -5x^3 + x \) es impar.
Expresa \[ f(x) = \frac{1}{x-1} \] como la suma de una función par y una impar y verifica tu respuesta.
De la Pregunta 1, cualquier función \( f(x) \) puede expresarse como: \[ f(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) + \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \] Aquí, \[ g(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{-x-1}\right) = \frac{1}{x^2 - 1} \] \[ h(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{-x-1}\right) = \frac{x}{x^2 - 1} \] Verificación: \[ g(x) + h(x) = \frac{1}{x^2 - 1} + \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{1+x}{x^2-1} = \frac{1+x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} = f(x) \]