Funciones Inversas: Preguntas con Soluciones Detalladas

Esta página presenta preguntas cuidadosamente seleccionadas sobre funciones inversas con soluciones y explicaciones completamente desarrolladas. El objetivo es fortalecer tanto las habilidades computacionales como la comprensión conceptual de las funciones inversas.

Preguntas y Soluciones

Pregunta 1

Encuentra los parámetros \(a\) y \(b\) de la función lineal \[ f(x) = ax + b \] tal que \[ f^{-1}(2) = 3 \quad \text{y} \quad f^{-1}(-3) = 6. \]

Solución

• De la definición de funciones inversas: \[ f^{-1}(2) = 3 \Rightarrow f(3) = 2, \quad f^{-1}(-3) = 6 \Rightarrow f(6) = -3. \]
• Sustituye en \(f(x) = ax + b\): \[ 3a + b = 2, \quad 6a + b = -3. \]
• Resolviendo el sistema se obtiene: \[ a = -\frac{5}{3}, \quad b = 7. \]

Pregunta 2

Dado que \( f(x) \) es una función impar y

Solución

• Dado que \(f(1) = 3\), se sigue que: \[ f^{-1}(3) = 1. \]
• La función \(f\) es impar, por lo tanto: \[ f(-2) = -f(2) = -12 \Rightarrow f^{-1}(-12) = -2. \]

Pregunta 3

Demuestra que la inversa de una función impar invertible también es impar.

Solución

• Por definición de funciones inversas: \[ f(f^{-1}(x)) = x. \]
• Reemplaza \(x\) con \(-x\): \[ f(f^{-1}(-x)) = -x. \]
• Dado que \(f\) es impar: \[ f(-u) = -f(u), \] lo que implica: \[ f(-f^{-1}(-x)) = x. \]
• Comparando ambas expresiones: \[ f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x), \] demostrando que \(f^{-1}\) es impar.

Pregunta 4

Sea \[ f(x) = \frac{1}{x - 2}. \] Encuentra los puntos de intersección de las gráficas de \(f\) y su inversa. Grafica \(f\), \(f^{-1}\), y la recta \(y = x\).

Solución

• Comienza con: \[ y = \frac{1}{x - 2}. \]
• Intercambia \(x\) y \(y\): \[ x = \frac{1}{y - 2}. \]
• Resuelve para \(y\): \[ y = \frac{1}{x} + 2 = f^{-1}(x). \]
• Resuelve: \[ \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x} + 2. \] Esto da: \[ x = 1 \pm \sqrt{2}. \]
• Los puntos de intersección son: \[ (1 + \sqrt{2},\, 1 + \sqrt{2}), \quad (1 - \sqrt{2},\, 1 - \sqrt{2}). \]

Pregunta 5

Grafica la función \[ f(x) = |x - 2| + 2x, \] encuentra su inversa y grafica ambas.

Solución

• Para \(x < 2\): \[ f(x) = -(x - 2) + 2x = x + 2. \]
• Para \(x \ge 2\): \[ f(x) = (x - 2) + 2x = 3x - 2. \]

• De la gráfica, los puntos de muestra en \(f\) son: \[ (-2,0),\ (2,4),\ (3,7). \]
• Los puntos correspondientes en \(f^{-1}\) son: \[ (0,-2),\ (4,2),\ (7,3). \]
• Resolviendo para la inversa se obtiene: \[ f^{-1}(x) = -\frac{1}{3}|x - 4| + \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}. \]

Más Recursos de Cálculo

Preguntas de cálculo con respuestas | Tutoriales y problemas de cálculo