Segundo Teorema Fundamental del Cálculo – Preguntas con Respuestas

Esta página presenta preguntas de cálculo con soluciones detalladas basadas en el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Teorema

El segundo teorema fundamental del cálculo establece que si \( f \) es continua en un intervalo \( I \) que contiene a \( a \), y si

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \]

entonces

\[ F'(x) = f(x) \]

para todo \( x \in I \).

Aproxima \( F'(\pi/2) \) con tres decimales si

\[ F(x) = \int_3^x \sin(t^2)\,dt \]

Dado que \( \sin(t^2) \) es continua para todo \( t \) real, se aplica el Segundo Teorema Fundamental: \[ F'(x) = \sin(x^2) \]
Evaluando en \( x = \pi/2 \): \[ F'(\pi/2) = \sin\!\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right) \approx 0.624 \]

Sea

\[ F(x) = \int_0^x \frac{5}{3 + 2e^t}\,dt \]

a) Calcula \( F'(0) \).
b) Muestra que \( F(1) < F(4) \).

Dado que \( \frac{5}{3 + 2e^t} \) es continua, el teorema da: \[ F'(x) = \frac{5}{3 + 2e^x} \]
Evaluando en \( x = 0 \): \[ F'(0) = \frac{5}{3 + 2e^0} = \frac{5}{5} = 1 \]
Como \( F'(x) > 0 \) para todo \( x \), la función \( F \) es creciente. Dado que \( 4 > 1 \), se sigue que \[ F(1) < F(4) \]

Sea

\[ F(x) = \int_{-1}^{x^2} \frac{1}{1+t^2}\,dt \]

Calcula \( F'(x) \).

Sea \( u = x^2 \). Entonces \[ F(u) = \int_{-1}^{u} \frac{1}{1+t^2}\,dt \]
Por el Segundo Teorema Fundamental: \[ \frac{dF}{du} = \frac{1}{1+u^2} \]
Aplicando la regla de la cadena: \[ F'(x) = \frac{dF}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^4}\cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} \]

Sea

\[ F(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt \]

donde \( f \) es continua y \( u \), \( v \) son funciones diferenciables de \( x \). Expresa \( F'(x) \).

Reescribe la integral usando una constante fija \( a \): \[ F(x) = -\int_a^{u(x)} f(t)\,dt + \int_a^{v(x)} f(t)\,dt \]
Por el Segundo Teorema Fundamental: \[ \frac{d}{du}\!\left(-\int_a^u f(t)\,dt\right) = -f(u), \quad \frac{d}{dv}\!\left(\int_a^v f(t)\,dt\right) = f(v) \]
Aplicando la regla de la cadena: \[ F'(x) = v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x)) \]