Esta página presenta preguntas de práctica sobre los conceptos y propiedades de las antiderivadas en cálculo. Las preguntas están diseñadas para ayudarte a construir una comprensión sólida de cómo funcionan las antiderivadas y cómo se relacionan con la diferenciación.
Antes de intentar las preguntas, se recomienda que revises las definiciones y teoremas básicos relacionados con las antiderivadas.
Verdadero o Falso. Si \( F(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \) y \( c \) es cualquier constante, entonces \( F(x) + c \) también es una antiderivada de \( f(x) \).
Respuesta: Verdadero.
Derivando \( F(x) + c \) obtenemos
\[
\frac{d}{dx}\bigl(F(x) + c\bigr) = F'(x) = f(x).
\]
Verdadero o Falso. Si \( F(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \), entonces \[ \frac{1}{c} F(cx) \] es una antiderivada de \( f(cx) \), donde \( c \neq 0 \).
Respuesta: Verdadero.
Sea \( u = cx \). Derivando,
\[
\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{c} F(cx) \right)
= \frac{1}{c} \cdot c \cdot F'(u)
= f(cx).
\]
Verdadero o Falso. Una antiderivada de \( f \) más una antiderivada de \( g \) es una antiderivada de \( f + g \).
Respuesta: Verdadero.
Si \( F' = f \) y \( G' = g \), entonces
\[
\frac{d}{dx}(F + G) = F' + G' = f + g.
\]
Verdadero o Falso. Una antiderivada de \( f \) dividida por una antiderivada de \( g \) es una antiderivada de \( \dfrac{f}{g} \).
Respuesta: Falso.
Derivando \( \dfrac{F}{G} \) obtenemos
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{F}{G}\right)
= \frac{F'G - FG'}{G^2},
\]
que no es igual a \( \dfrac{f}{g} \) en general.