Preguntas sobre Derivadas en Cálculo con Soluciones
Preguntas de práctica sobre cómo calcular y comprender las propiedades de la
derivada de una función en cálculo. Estas preguntas te ayudan a obtener una comprensión más profunda de las propiedades de las derivadas. Se proporcionan soluciones detalladas para cada pregunta.
Preguntas con Soluciones
Pregunta 1
¿Verdadero o Falso? Si una función es continua en \(x = a\), entonces tiene una recta tangente en \(x = a\).
Respuesta: Falso. Por ejemplo, la función \(f(x) = |x|\) es continua en \(x = 0\) pero no tiene recta tangente en ese punto.
Pregunta 2
¿Verdadero o Falso? La derivada de una función en un punto dado da la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Respuesta: Verdadero. Esto se deduce directamente de la definición de derivada.
Pregunta 3
¿Verdadero o Falso? Si \(f'\) es la derivada de \(f\), entonces la derivada de la inversa de \(f\) es la inversa de \(f'\).
Respuesta: Falso. Si \(g(x)\) es la inversa de \(f(x)\), su derivada es:
\[
g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.
\]
Pregunta 4
¿Verdadero o Falso? La derivada de \(\ln(ax)\), donde \(a\) es una constante, es \(\frac{1}{x}\).
Respuesta: Verdadero.
Pregunta 5
¿Verdadero o Falso? El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio.
Respuesta: Verdadero.
Pregunta 6
Si \(f(x) = x^3 - 3x^2 + x\) y \(g\) es la inversa de \(f\), entonces \(g'(3)\) es igual a:
(A) 10
(B) \(\dfrac{1}{10}\)
(C) 1
(D) Ninguna de las anteriores
Respuesta: (B). Usando \(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\), primero encuentra \(g(3)\) resolviendo \(f(x) = 3\):
\[
x^3 - 3x^2 + x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \Rightarrow g(3) = 3
\]
Luego calcula \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 1\) y evalúa:
\[
f'(g(3)) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 1 = 10 \quad \Rightarrow \quad g'(3) = \frac{1}{10}.
\]
Pregunta 7
¿Verdadero o Falso? La derivada de \(f(x) = a^x\), donde \(a\) es una constante, es \(x a^{x-1}\).
Respuesta: Falso. Sea \(y = a^x\) de modo que \(\ln y = x \ln a\). Derivando ambos lados:
\[
\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = y \ln a = a^x \ln a.
\]
Referencias y Enlaces
Preguntas de cálculo con respuestas
Tutoriales y problemas de cálculo.