Números Críticos de Funciones

A continuación se presentan preguntas sobre los números críticos de funciones. Estas preguntas están diseñadas para ayudarte a obtener una comprensión profunda de los números críticos en cálculo. También se proporcionan las respuestas.

Preguntas y Soluciones

Pregunta 1

Un número crítico \(c\) de una función \(f\) es un número en el dominio de \(f\) tal que:

Respuesta: (C)

Pregunta 2

Verdadero o Falso: La función \(f(x) = |x|\) no tiene puntos críticos.
Respuesta: Falso. La derivada es \[ f'(x) = \frac{x}{|x|} \] la cual no está definida en \(x = 0\). Por lo tanto, \(x = 0\) es un punto crítico.

Pregunta 3

Verdadero o Falso: Si \(c\) es un número crítico, entonces \(f(c)\) es ya sea un máximo o mínimo local.
Respuesta: Falso. Por ejemplo, \(f(x) = x^3\) tiene un número crítico en \(x = 0\), pero \(f(0)\) no es ni un máximo ni un mínimo local.

Pregunta 4

Verdadero o Falso: Si \(c\) no es un número crítico, entonces \(f(c)\) no es ni un mínimo ni un máximo local.
Respuesta: Verdadero. Este es el contrapositivo del teorema de Fermat: si \(f(c)\) es un máximo o mínimo local, entonces \(c\) debe ser un número crítico.

Pregunta 5

Los valores del parámetro \(a\) para los cuales la función \[ f(x) = x^3 + ax^2 + 3x \] tiene dos números críticos distintos están en el intervalo:

Respuesta: D Derivada: \[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3 \] Resolver \(f'(x) = 0\) para encontrar números críticos. El discriminante es \[ D = (2a)^2 - 4(3)(3) = 4a^2 - 36 \] \(D > 0\) para \(a \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\), dando dos soluciones distintas.

Pregunta 6

Si \(f(x)\) tiene un punto crítico en \(x = c\), entonces:

Respuesta: (E) Desplazar la gráfica horizontalmente desplaza el punto crítico. La compresión horizontal por \(k\) escala el punto crítico por \(\frac{1}{k}\).

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