Preguntas de Derivadas en Cálculo con Soluciones

Esta página presenta una serie de preguntas sobre la derivada de una función. Cada pregunta incluye una solución detallada para ayudarte a obtener una comprensión sólida de las derivadas, un concepto fundamental en cálculo.

Preguntas con Soluciones

Pregunta 1

Si las funciones \( f \) y \( g \) satisfacen

\( f(x) = g(x) + k \)
donde \( k \) es una constante, entonces:
(A) \( f'(x) = g'(x) + k \)
(B) \( f'(x) = g'(x) \)
(C) Ninguna de las anteriores
Respuesta: (B). La derivada de una constante es cero, por lo tanto \( f'(x) = g'(x) \).

Pregunta 2

Si \( f(x) = g(u) \) y \( u = u(x) \), entonces:
(A) \( f'(x) = g'(u) \)
(B) \( f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) \)
(C) \( f'(x) = u'(x) \)
(D) Ninguna de las anteriores
Respuesta: (B). Esta es la regla de la cadena para la derivada de una composición de funciones.

Pregunta 3

Calcula:

\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)

(A) 1
(B) 0
(C) No se puede calcular (forma 0/0)
Respuesta: (A). Por definición de derivada:
\( f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)

Para \( f(x) = e^x \), \( f'(x) = e^x \). Evaluando en \( x=0 \) obtenemos \( e^0 = 1 \).

Pregunta 4

Verdadero o Falso: La derivada de \( [g(x)]^2 \) es \( [g'(x)]^2 \).
Respuesta: Falso. La derivada de \( [g(x)]^2 \) es \( 2 g(x) g'(x) \).

Pregunta 5

Verdadero o Falso: La derivada de \( f(x) \cdot g(x) \) es \( f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \).
Respuesta: Verdadero.

Pregunta 6

Si \( f'(0) = 2 \), \( f'(2) = -3 \), \( f'(5) = 7 \), entonces

\( \lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4} \)

(A) 2
(B) -3
(C) 7
(D) Ninguna de las anteriores
Respuesta: (D). Este límite es igual a \( f'(4) \) por definición de derivada.

Pregunta 7

Si \( f'(x) = 3x \) y \( g'(x) = 2x^2 \), entonces

\( \lim_{x \to 1} \frac{(f(x) + g(x)) - (f(1) + g(1))}{x - 1} \)

(A) 5
(B) 0
(C) 20
(D) Ninguna de las anteriores
Respuesta: (A). La derivada de una suma es la suma de las derivadas: \( f'(1) + g'(1) = 3 + 2 = 5 \).

Pregunta 8

A continuación se muestra la gráfica de la función \( f \) con un máximo en el punto B:

Gráfica de función con punto máximo

Si \( x_A, x_B, x_C \) son las coordenadas x de los puntos A, B y C respectivamente y \( f' \) es la derivada, entonces:
(A) \( f'(x_A) > 0, f'(x_B) > 0, f'(x_C) > 0 \)
(B) \( f'(x_A) > 0, f'(x_B) = 0, f'(x_C) > 0 \)
(C) \( f'(x_A) > 0, f'(x_B) = 0, f'(x_C) < 0 \)
(D) \( f'(x_A) < 0, f'(x_B) = 0, f'(x_C) > 0 \)
Respuesta: (C). \( f \) es creciente en A (\( f'(x) > 0 \)), tiene un máximo en B (\( f'(x) = 0 \)), y es decreciente en C (\( f'(x) < 0 \)).

Referencias y Enlaces

Preguntas de cálculo con respuestas y Tutoriales y problemas de cálculo.