Aquí encontrarás preguntas de práctica sobre los dos teoremas fundamentales del Cálculo. Estos ejercicios están diseñados para ayudarte a comprender y aplicar mejor estos teoremas. Puede ser útil revisar los teoremas de antemano.
Verdadero o Falso: El segundo teorema fundamental del cálculo establece que si \[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \] entonces \[ F'(x) = f(x). \]
Respuesta: Verdadero.
Verdadero o Falso: Si \[ F(x) = \int_{-2}^{3x} \sin(t) \, dt \] entonces el segundo teorema fundamental del cálculo se puede usar para evaluar \(F'(x)\) como \[ F'(x) = \sin(3x). \]
Respuesta: Falso. Nótese que el límite superior en la integral es \(3x\), no \(x\), por lo que la integral tiene la forma \[ F(x) = \int_{-2}^{u(x)} f(t) \, dt. \] Usando la regla de la cadena, obtenemos \[ F'(x) = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3 \sin(3x). \]
Verdadero o Falso: Usando el primer teorema fundamental del cálculo \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a), \] podemos evaluar \[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx = -2. \]
Respuesta: Falso. El intervalo de integración \([-1, 1]\) contiene a 0, donde \( \frac{1}{x^2} \) es discontinua. Por lo tanto, el teorema no se puede aplicar en este caso.
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