Problemas de Álgebra Universitaria con Respuestas
muestra 2: Funciones Compuestas e Inversas

Se presentan problemas y preguntas de álgebra universitaria sobre funciones compuestas e inversas, junto con sus soluciones ubicadas al final de la página.

Problemas


  1. Sea \( f(x) = \sqrt{x - 4} + 3 \).
    a) Encuentra la inversa de \( f \).
    b) Encuentra el rango de \( f^{-1} \).

  2. Sea \( h(x) = \frac{x - 1}{-x + 3} \).
    a) Encuentra la inversa de \( h \).
    b) Encuentra el rango de \( h \).

  3. Sean \( f(x) = \frac{x - 1}{x + 5} \) y \( g(x) = \frac{1}{x + 3} \).
    a) Encuentra la función compuesta \( (f \circ g)(x) \).
    b) Encuentra el dominio de \( f \circ g \).

  4. La función \( f \) es una función con inversa \( f^{-1} \). La función \( h \) está definida por \( h(x) = f(x) + k \) donde \( k \) es una constante. Expresa la función inversa de \( h \) en términos de \( f^{-1} \) y \( k \).

  5. La función \( f \) es una función con inversa \( f^{-1} \). La función \( h \) está definida por \( h(x) = Af(x - h) + k \) donde \( A \), \( k \) y \( h \) son constantes. Expresa la función inversa de \( h \) en términos de \( f^{-1} \), \( A \), \( k \) y \( h \).

  6. Las gráficas de las funciones \( f \) y \( g \) se muestran a continuación.
    a) Usa la gráfica para encontrar \( (f \circ g)(-4) \).
    b) Usa la gráfica para encontrar \( (g \circ f)(1) \).
    Gráfica de la función f(x) para el problema 4 de álgebra universitaria

    Figura 1. Gráfica de la Función \( f \)
    Gráfica de la función g(x) para el problema 4 de álgebra universitaria

    Figura 2. Gráfica de la Función \( g \)


  7. Las funciones \( f \) y \( h \) están definidas por las tablas
    x -3 -2 -1 0 1 2 3
    \( f(x) \) -6 -4 -2 1 2 6 16

    x 0 1 2 3 4 5 6
    \( h(x) \) 1 2 5 10 17 26 37

    Usa los valores de las tablas para encontrar
    a) \( (f \circ h)(1) \)
    b) \( (f \circ f)(0) \)
    c) \( (f \circ h)(5) \)
    d) \( (f \circ h^{-1})(5) \)
    e) \( (h \circ f^{-1})(6) \)

Soluciones a los Problemas Anteriores



    1. \( f^{-1}(x) = (x - 3)^3 + 4 \), \( x \geq 3 \)

    2. \([4, +\infty)\): es el dominio de \( f \)



    1. \( h^{-1}(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1} \)

    2. \((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)\): es el dominio de \( h^{-1} \)



    1. \( (f \circ g)(x) = -\frac{x + 2}{5x + 16} \)

    2. Dominio de la función compuesta \( f \circ g \): \((- \infty, -\frac{16}{5}) \cup (-\frac{16}{5}, -3) \cup (-3, +\infty)\)


  4. \( h^{-1}(x) = f^{-1}(x - k) \)

  5. \( h^{-1}(x) = f^{-1}\left(\frac{x - k}{A}\right) + h \)


    1. \( (f \circ g)(-4) = f(g(-4)) = f(2) = -2 \)

    2. \( (g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(-3) = -1 \)



    1. \( (f \circ h)(1) = f(h(1)) = f(2) = 6 \)

    2. \( (f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(1) = 2 \)

    3. \( (f \circ h)(5) = f(h(5)) = f(26) = \text{indefinido} \)

    4. \( (f \circ h^{-1})(5) = f(h^{-1}(5)) = f(2) = 6 \)

    5. \( (h \circ f^{-1})(6) = h(f^{-1}(6)) = h(2) = 5 \)

Más Referencias y Enlaces

Función inversa
Función compuesta
Preguntas y problemas de álgebra
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