Se presentan problemas de álgebra universitaria sobre las ecuaciones de hipérbolas. Las soluciones detalladas se encuentran al final de la página, en la sección de soluciones.
Encuentra el eje transversal, el centro, los focos y los vértices de la hipérbola cuya ecuación es:
\(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)Encuentra el eje transversal, el centro, los focos y los vértices de la hipérbola cuya ecuación es:
\(16y^2 - x^2 = 16\)Encuentra la ecuación de una hipérbola que tiene el eje \(y\) como eje transversal, un centro en \((0 , 0)\) y pasa por los puntos \((0 , 5)\) y \((2 , 5\sqrt{2})\).
Encuentra la ecuación de una hipérbola cuyos vértices están en \((0 , -3)\) y \((0 , 3)\) y tiene un foco en \((0 , 5)\).
Encuentra las asíntotas de las hipérbolas dadas por las ecuaciones:
a) \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{36} = 1\)
b) \(y^2 - 49x^2 = 49\)
Encuentra la ecuación de una hipérbola con vértices en \((0 , -7)\) y \((0 , 7)\) y asíntotas dadas por las ecuaciones \(y = 3x\) e \(y = - 3x\).
Encuentra la ecuación de una hipérbola con focos en \((-2 , 0)\) y \((2 , 0)\) y asíntotas dadas por la ecuación \(y = x\) e \(y = -x\).
Escribe la ecuación de una hipérbola con focos en \((-1 , 0)\) y \((1 , 0)\) y una de sus asíntotas pasa por el punto \((1 , 3)\).
Escribe la ecuación de una hipérbola con el eje \(x\) como su eje transversal, el punto \((3 , 1)\) se encuentra en la gráfica de esta hipérbola y el punto \((4 , 2)\) se encuentra en la asíntota de esta hipérbola.
Encuentra la ecuación de cada hipérbola que se muestra a continuación. Las gráficas en b) y c) también muestran las asíntotas.
a)
b)
c)
Eje transversal: eje \(x\) o \(y = 0\)
Centro en \((0 , 0)\)
Vértices en \((2 , 0)\) y \((-2 , 0)\)
\(c^2 = 4 + 9 = 13\). Los focos están en \((\sqrt{13} , 0)\) y \((-\sqrt{13} , 0)\).
Divide todos los términos de la ecuación dada por 16, lo que se convierte en \(y^2 - \dfrac{x^2}{16} = 1\)
Eje transversal: eje \(y\) o \(x = 0\)
Centro en \((0 , 0)\)
Vértices en \((0 , 1)\) y \((0 , -1)\)
\(c^2 = 1 + 16 = 17\). Los focos están en \((0 , \sqrt{17})\) y \((0 , -\sqrt{17})\).
Dado que el eje \(y\) es el eje transversal, la ecuación tiene la forma \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\)
Usa el punto \((0 , 5)\) para escribir: \(5^2 / a^2 = 1\) y encuentra \(a^2 = 25\). Usa el segundo punto para escribir \((5\sqrt{2})^2 / 25 - 2^2 / b^2 = 1\) y encuentra \(b^2 = 4\)
La ecuación está dada por: \(\dfrac{y^2}{25} - \dfrac{x^2}{4} = 1\)
Dado que los vértices están en \((0 ,-3)\) y \((0 , 3)\), el eje transversal es el eje \(y\) y el centro está en \((0,0)\). La ecuación tiene la forma: \(\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\), \(a^2 = 9\).
El foco está en \((0 , 5)\), por lo tanto \(c = 5\). Ahora usamos la fórmula \(c^2 = a^2 + b^2\) para encontrar \(b^2 = 25 - 9 = 16\)
La ecuación se puede escribir como: \(\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{16} = 1\)
a) \(y = 3x\) e \(y = -3x\)
b) \(y = 7x\) e \(y = -7x\)
Dado que los vértices están en \((0 , -7)\) y \((0 , 7)\), el eje transversal de la hipérbola es el eje \(y\), el centro está en \((0 , 0)\) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\) con \(a^2 = 49\). La asíntota está dada por \(y = \pm \dfrac{a}{b}x\), por lo tanto \(\dfrac{a}{b} = 3\) lo que da \(a^2 = 9 b^2\).
Dado que \(a^2 = 49\), \(9 b^2 = 49\) y \(b^2 = \dfrac{49}{9}\)
La ecuación de la hipérbola está dada por: \(\dfrac{y^2}{49} - \dfrac{9x^2}{49} = 1\)
Dado que los focos están en \((-2 , 0)\) y \((2 , 0)\), el eje transversal de la hipérbola es el eje \(x\), el centro está en \((0 , 0)\) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) con \(c^2 = 4 = a^2 + b^2\)
La asíntota está dada por \(y = \pm \dfrac{b}{a}x\), por lo tanto \(\dfrac{a}{b} = 1\) lo que da \(a^2 = b^2\).
Resuelve las dos ecuaciones \(4 = a^2 + b^2\) y \(a^2 = b^2\) para encontrar: \(a^2 = 2\) y \(b^2 = 2\).
La ecuación de la hipérbola está dada por: \(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{y^2}{2} = 1\)
Dado que los focos están en \((-1 , 0)\) y \((1 , 0)\), el eje transversal de la hipérbola es el eje \(x\), el centro está en \((0,0)\) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) con \(c^2 = 1^2 = a^2 + b^2\)
La asíntota está dada por \(y = \dfrac{b}{a}x\), por lo tanto \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{1} = 3\) lo que da \(a^2 = 9 b^2\).
Resuelve ambas ecuaciones: \(1 = a^2 + b^2\) y \(a^2 = 9 b^2\).
Resuelve para encontrar: \(b^2 = \dfrac{1}{10}\) y \(a^2 = \dfrac{9}{10}\)
La ecuación de la hipérbola está dada por: \(\dfrac{10}{9}x^2 - \dfrac{10}{9}y^2 = 1\)
La ecuación de la hipérbola tiene la forma: \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)
Usa el punto \((3 , 1)\) para escribir: \(\dfrac{3^2}{a^2} - \dfrac{1^2}{b^2} = 1\)
La asíntota tiene la forma: \(y = \pm \dfrac{b}{a}x\), usando el punto \((4,2)\) que se encuentra en la asíntota escribimos: \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) o \(4b^2 = a^2\)
Resuelve las dos ecuaciones para encontrar: \(a^2 = 5\) y \(b^2 = \dfrac{5}{4}\)
La ecuación de la hipérbola tiene la forma: \(\dfrac{x^2}{5} - \dfrac{y^2}{\dfrac{5}{4}} = 1\)
a)
Vértices en \((-1 , 0)\) y \((1 , 0)\) y el punto \((-3 , 2)\) se encuentra en la hipérbola.
Ecuación: \(x^2 - \dfrac{y^2}{0.5} = 1\)
b)
Vértices en \((-2 , 0)\) y \((2 , 0)\) y el punto \((2 , 2)\) se encuentra en una asíntota.
Ecuación: \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{4} = 1\)
c)
Vértices en \((0 , 0.5)\) y \((0 , -0.5)\) y asíntota \(y = \dfrac{x}{6}\).
Ecuación: \(\dfrac{y^2}{0.25} - \dfrac{x^2}{9} = 1\)